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【精品】高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦余弦正切公式优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修43、1、2 两角和与差的正弦余弦正切公式 练习一一、选择题:1.sincoscossin的值是( )A.B.C.sinD.sin2.若sin(+)coscos(+)sin=0,则sin(+2)+sin(2)等于( )A.1B.1C.0D.1二、解答题3.已知,0,cos(+)=,sin(+)=,求sin(+)的值.4.已知非零常数a、b满足=tan,求.5.已知,sin()=,求的值.6.已知sin(+)=,sin()=,求的值.7.已知A、B、C是ABC的三个内角且lgsinAlgsinBlgcosC=lg2.试判断此三角形的形状特征.8.化简.9 求值:(1)sin75;(2)sin13cos17+cos13sin17.10 求sincossinsin的值.11 在足球比赛中,甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进(如下图),试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大?(设乙方球门两个端点分别为A、B)12 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值.13 证明sin(+)sin()=sin2sin2,并利用该式计算sin220+ sin80sin40的值.14 化简:2sin50+sin10(1+tan10).15 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2,(1)若xR,求函数的最大值和最小值;(2)若x0,求函数的最大值和最小值.答案:1.B 2. C3.解:,+.又cos(+)=,sin(+)=.0,+.又sin(+)=,cos(+)=,sin(+)=sin+(+)=sin(+)+(+)=sin(+)cos(+)+cos(+)sin(+)=()=.4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出,用、的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于,则.整理,有=tan=.5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧.解题过程中,需要注意到(+)+()=,并且(+)()=2.解:cos(+)=cos()=sin()=,又由于,则0,+.所以cos()=,sin.因此=.6.分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和或差).本题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化.欲求的值,需化切为弦,即,可再求sincos、cossin的值.解:sin(+)=,sincos+cossin=.sin()=,sincoscossin=.由(+)()得=17.7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有理式,然后再考察A、B、C的关系及大小,据此判明形状特征.解:由于lgsinAlgsinBlgcosC=lg2,可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC,即lgsinA=lg2sinBcosC,sinA=2sinBcosC.根据内角和定理,A+B+C=,A=(B+C).sin(B+C)=2sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.移项化为sinCcosBsinBcosC=0,即sin(BC)=0.在ABC中,C=B.ABC为等腰三角形.8.分析:这道题要观察出7+8=15,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解: =2.9解:(1)原式=sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45=+=.(2)原式= sin(13+17)=sin30=.10解:观察分析这些角的联系,会发现=.sincossinsin=sincossin()sin=sincoscossin=sin()=sin=.11解:设边锋为C,C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x,OB=b,OA=a(ab0,a、b为定值),ACO=,BCO=,ACB=(0),则tan=,tan=(x0,0).所以tan=tan()=.当且仅当x=,即x=时,上述等式成立.又0,tan为增函数,所以当x=时,tan达到最大,从而ACB达到最大值arctan.所以边锋C距球门AB所在的直线距离为时,射门可以命中球门的可能性最大.12解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知2=()+(+).由于,可得到+,0.cos(+)=,sin()=.sin2=sin(+)+()=sin(+)cos()+cos(+)sin()=()+()=.13证明:sin(+)sin()=(sincos+cossin)(sincoscossin)=sin2cos2cos2sin2=sin2(1sin2)(1sin2)sin2=sin2sin2sin2sin2+sin2sin2=sin2sin2,所以左边=右边,原题得证.计算sin220+sin80sin40,需要先观察角之间的关系.经观察可知80=60+ 20,40=6020,所以sin220+sin80sin40=sin220+sin(60+20)sin(6020)=sin220+sin260sin220=sin260=.分析:此题目要灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简.14解:原式=2sin50+sin10(1+tan10)=2sin50+sin10(1+)=2sin50+sin10()=(2sin50+2sin10)cos10=2(sin50cos10+sin10cos50)=2sin60=.15解:(1)设t=sinx+cosx=sin(x+),则t2=1+2sinxcosx.2sinxcosx=t21.y=t2+t+1=(t+)2+,3+ymax=3+,ymin=.(2)若x0,则t1,.y3,3+,即ymax=3+ymin=3.8 / 8
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