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课后作业(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1(2013茂名模拟)以下四个命题中不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1 C2 D32已知异面直线a,b分别在平面,内,且c,那么直线c一定()A与a,b都相交B只能与a,b中的一条相交C至少与a,b中的一条相交D与a,b都平行3如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()图7374(2013揭阳模拟)如图737,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A. B.C. D25设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是()A若AC与BD共面,则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C若ABAC,DBDC,则ADBCD若ABAC,DBDC,则ADBC二、填空题图7386(2013深圳质检)如图738是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直以上四个命题中,正确命题的序号是_【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DEMN.【答案】7(2013韶关模拟)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(只填序号)图7398如图739所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB1,则异面直线AB1与BD所成的角为_三、解答题图73109如图7310所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为CC1,AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线图731110如图7311所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为A1A,C1C的中点,求证:四边形EBFD1是菱形图731211如图7312,三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC60,PAABAC2,E是PC的中点(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;(2)求三棱锥AEBC的体积解析及答案一、选择题1【解析】中显然是正确的;中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面构造长方体或正方体,如图显然b、c异面故不正确中空间四边形中四条线段不共面,故只有正确【答案】B2 【解析】若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,则ab与a,b异面相矛盾【答案】C3 【解析】在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,P,Q,R,S共面在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,四点不共面,故选D.【答案】D4【解析】如图,取AC中点G,连FG、EG,则FGC1C,FGC1C;EGBC,EGBC,故EFG即为EF与C1C所成的角,在RtEFG中,cosEFG.【答案】B5【解析】由公理1知,命题A正确对于B,假设AD与BC共面,由A正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论B正确对于C,如图,当ABAC,DBDC,使二面角ABCD的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC.故D正确【答案】C二、填空题6 【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DEMN.【答案】7 【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行,或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错【答案】8【解析】取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角连接AD1,设ABa,则AA1a,所以AB1a,B1D1a,AD1 a.所以cosAB1D1,所以AB1D160.【答案】60三、解答题9【解】在平面AA1D1D内,延长D1F,D1F与DA不平行,D1F与DA必相交于一点,设为P,则PD1F,PDA.又D1F平面BED1F,AD平面ABCD,P平面BED1F,P平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,连接PB,PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线如图所示10【证明】如图所示,取B1B的中点G,连接GC1,EG,GBC1F,且GBC1F,四边形C1FBG是平行四边形,FBC1G,且FBC1G,D1C1EG,且D1C1EG,四边形D1C1GE为平行四边形GC1D1E,且GC1D1E,FBD1E,且FBD1E,四边形EBFD1为平行四边形又FBFD1,四边形EBFD1是菱形11 【解】(1)取BC的中点F,连结EF,AF,则EFPB.所以AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角BAC60,PAABAC2,PA平面ABC,AF,AE,EF,cosAEF.(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为PA1,VAEBCVEABC41.6
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