【赢在课堂】高考数学一轮复习 8.2空间几何体的表面积和体积配套训练 理 新人教A版第2讲空间几何体的表面积和体积基础巩固1.已知一正方体的外接球的体积是,则这个正方体的棱长是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设正方体的外接球半径为r,正方体的棱长为a,则r3=,即r=1.于是可得a=2r=2.故a=.2.下面不是正方体表面展开图的是()【答案】C【解析】根据正方体的结构特征可知,C项中图不是正方体的表面展开图.3.若一正三棱锥的底面边长为6,高为,则这个三棱锥的全面积为()A.9B.18C.9()D.【答案】C【解析】因为底面边长a=6,高h=,所以底面高h1=3,则侧面高h2=.故所求全面积S=63+36=9+9=9().4.圆柱的侧面展开图是一个边长为6和4的矩形,则圆柱的全面积为()A.6(4+3)B.8(3+1)C.6(4+3)或8(3+1)D.6(4+1)或8(3+2)【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为r,母线为l,则解之可得故所求圆柱的全面积为242+8或242+18,即8(3+1)或6(4+3).5.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的体积为()A.2B.4C.8D.12【答案】B【解析】由题意可知球心即为正六边形ABCDEF的中心,故正六边形的边长即为半径2,正六边形的面积S=6.又正六棱锥的高h为2,所以所求体积V=Sh=62=4.6.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为13,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()A.1B.19C.13D.1(3-1)【答案】D【解析】利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方,而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方处理.7.正棱锥的高缩小为原来的,底面外接圆半径扩大为原来的3倍,则它的体积是原来体积的()A.B.C.D.【答案】B【解析】设原棱锥高为h,底面面积为S,则V=Sh.由题意知新棱锥的高为,底面面积为9S,则新棱锥的体积V=9S.故.8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.【答案】13【解析】根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为=13cm.9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为.【答案】32【解析】设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2r2r=4r2,设球的半径是R,则球的表面积是4R2,根据已知4R2=4r2,可知R=r.因此圆柱的体积是r22r=2r3,球的体积是r3.故圆柱的体积和球的体积的比是=32.10.(2012天津卷,10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【答案】30【解析】由几何体的三视图可知:该几何体的顶部为平放的直四棱柱,底部为长、宽、高分别为4m,3m,2m的长方体.故所求几何体的体积V=V棱柱+V长方体=4+432=6+24=30m3.11.以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比.【解】设圆锥底面半径为r,则母线为2r,高为r.因此圆柱的底面半径为r,高为r,故.12.一直三棱柱高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,将该棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.【解】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高.在ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,ABC为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5,即R=1.于是V圆柱=R2h=6.三棱柱的体积为V三棱柱=346=36,削去部分的体积为36-6=6(6-)(cm3),即削去部分的体积的最小值为6(6-)cm3.13.(2012河南郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.【解】(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,因此其体积V=11.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,从而可知AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,故S=2(11+1+12)=6+2.拓展延伸14.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.【解】(1)直观图如图所示:(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的.在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1于点E,则四边形AA1EB是正方形,从而可知AA1=BE=1.在RtBEB1中,BE=1,EB1=1,则BB1=.因此几何体的表面积S=+2+S正方形ABCD+=1+2(1+2)1+1+1+12=7+(m2),几何体的体积V=121=(m3).故该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.4 / 4