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单元评估检测(八)(第八章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线xsiny10的倾斜角的变化范围是()(A)(0,) (B)(0,)(C), (D)0,)2.(2012珠海模拟)已知直线l1:xay60和l2:(a2)x3y2a0,则l1l2的充要条件是a等于()(A)3 (B)1 (C)1 (D)3或13.(2012顺德模拟)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k的值为()(A)1 (B)1或3 (C)0 (D)1或04.“1”是“方程1表示双曲线”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.(2012佛山模拟)已知直线l1与圆O:x2y22y0相切,且与直线l2:3x4y60平行,则直线l1的方程是()(A)3x4y10(B)3x4y10或3x4y90(C)3x4y90(D)3x4y10或3x4y906.若曲线1与曲线1的离心率互为倒数,则a()(A)16 (B)16 (C) (D)7.已知双曲线16y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m()(A)1 (B)2 (C)3 (D)48.若PQ是圆x2y216的弦,PQ的中点是M(1,3),则直线PQ的方程是()(A)x3y40 (B)x3y100(C)3xy40 (D)3xy0二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知圆C与直线xy0及xy40都相切,圆心在直线xy0上,则圆C的方程为.10.(2012郑州模拟)已知抛物线y22px(p1)的焦点F恰为双曲线1(a0,b0)的右焦点,且两曲线的交点连线过点F,则双曲线的离心率为.11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于.12.若kR,直线ykx1与圆x2y22axa22a40恒有交点,则实数a的取值范围是.13.(2012深圳模拟)直线axmy2a0(m0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为.14.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值等于.三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(易错题)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若a1,直线l与x、y轴分别交于M、N两点,O为坐标原点,求OMN面积取最小值时,直线l对应的方程.16.(13分)已知动点C到点A(1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍.(1)试求点C的轨迹方程;(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切,试求直线l的方程.17.(13分)(探究题)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(,0),右顶点为D(2,0),设点A(1,).(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求ABC面积的最大值.18.(14分)(2012广州模拟)如图,曲线C1是以原点O为中心、F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点,且AF2F1为钝角,若|AF1|,|AF2|,(1)求曲线C1和C2的方程;(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.19.(14分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点,又点A(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C,当ABC的面积最大时,求直线l的方程.20.(14分)已知直线l1:y2xm(m0)和圆C2:x2(y1)25都相切,F是C1的焦点.(1)求m与a的值;(2)设A是C1上的一动点,以A为切点作抛物线C1的切线l,直线l交y轴于点B,以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB,证明:点M在一条定直线上;(3)在(2)的条件下,记点M所在定直线为l2,直线l2与y轴交点为N,连接MF交抛物线C1于P、Q两点,求NPQ的面积S的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsiny10的斜率是ksin.又1sin1,1k1.当0k1时,倾斜角的范围是0,;当1k1时,方程1表示双曲线;当1表示双曲线时,1或1”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件.5.【解析】选D.由题意可得圆心O(0,1),半径r1,设l1:3x4y0,则圆心O到l1的距离d1.|4|5.解得1或9.l1:3x4y10或3x4y90.6.【解析】选D.因为曲线1的离心率为,所以,曲线1的离心率为,所以,解得a.7.【解析】选C.双曲线的方程可化为1,所以a,b,取顶点(0,),一条渐近线为mx4y0.,即m21625,m3.8.【解析】选B.圆心为O(0,0),故直线OM斜率k3,因为弦PQ所在直线与直线OM垂直,所以kPQ,其方程为y3(x1),整理,得x3y100.9.【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】因为两条直线xy0与xy40平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以2R,所以R.设圆心坐标为P(a,a),则点P到两条切线的距离都等于半径,所以,解得a1,故圆心为(1,1),所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.答案:(x1)2(y1)2210.【解析】由题意知,c,即p2c.由得b2x24ca2xa2b20*由题意知xc是方程*的一个根,则有b2c24a2c2a2b20,即c46a2c2a40,e46e210.又e1,e232,e1.答案:111.【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有4b2a,即a2b,所以cb,所以离心率为e.答案:12.【解析】因为直线ykx1恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则02122a0a22a40且2a40,解得1a3.答案:1a313.【解析】由题意可得am2a0,即ma.又直线的斜率k1,该直线的倾斜角为.答案:14.【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为(x,x2),根据点到直线的距离公式,得d(x)2,所以当x时,d取得最小值.答案:15.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a20,解得a2,此时直线l的方程为xy0,即xy0;当直线l不经过坐标原点,即a2且a1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a,解得a0,此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M(,0),N(0,2a),又因为a1.故SOMN(2a)(a1)2222,当且仅当a1,即a0时等号成立.此时直线l的方程为xy20.16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程,化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论,根据切线的性质求斜率,进而求出方程.【解析】(1)设点C(x,y),则|CA|,|CB|.由题意,得.两边平方,得(x1)2y22(x1)2y2.整理,得(x3)2y28.故点C的轨迹是一个圆,其方程为(x3)2y28.(2)由(1),得圆心为M(3,0),半径r2.若直线l的斜率不存在,则方程为x0,圆心到直线的距离d32,故该直线与圆不相切;若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为ykx1.由直线和圆相切,得d2,整理,得k26k70,解得k1,或k7.故所求直线的方程为yx1,或y7x1,即xy10或7xy10.17.【解题指南】(1)由“左焦点为F(,0),右顶点为D(2,0)”得到椭圆的长半轴a,半焦距c,再求得短半轴b,最后由椭圆的焦点在x轴上求得标准方程.(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由中点坐标公式分别求得x0,y0,代入椭圆方程,可求得线段PA中点M的轨迹方程.(3)分直线BC垂直于x轴和直线BC不垂直于x轴两种情况分析,求得弦长|BC|,结合点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不等式求其最值.【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a2,半焦距c,则短半轴b1.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为y21.(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由得,因为点P在椭圆上,得(2y)21,线段PA中点M的轨迹方程是(x)24(y)21.(3)当直线BC垂直于x轴时,|BC|2,此时ABC的面积SABC1.当直线BC不垂直于x轴时,设直线方程为ykx,代入y21,由B、C的对称性,不妨令B(,),C(,),则|BC|,又点A到直线BC的距离d,SABC|BC|d,于是SABC,由1,得SABC,其中,当k时,等号成立.SABC的最大值是.18.【解析】(1)设椭圆方程为1,则2a|AF1|AF2|6,得a3.设A(x,y),F1(c,0),F2(c,0),则(xc)2y2()2,(xc)2y2()2,两式相减得xc,由抛物线定义可知|AF2|xc,则c1,x或x1,c(舍去).所以曲线C1的方程为1(3x),曲线C2的方程为y24x(0x).(2)设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线BE的方程yk(x1),代入1得:8
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