第二讲空间点、直线、平面之间的关系一、选择题1(2010山东)在空间，下列命题正确的是 ()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确答案：D2(2010浙江)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm解析：选项A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这个平面；选项B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；选项C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行于这个平面内任意一条直线；选项D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或异面故选B.答案：B3(2009江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析：截面PQMN为正方形，PQMN，PQ平面DAC.又面ABC面ADCAC，PQ面ABC，PQAC，同理可证QMBD.故有选项A、B、D正确，C错误答案：C4如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有以下命题：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中真命题的个数为 ()A3 B2 C1 D0解析：PA平面ABC，PABC又BCAC，BC平面PAC，BCPC；OMPA，OM平面PAC；BC平面PAC，BC是点B到平面PAC的距离，故、都正确答案：A5(2010辽宁)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ()A(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)解析：构成如图所示的两种三棱锥，图(1)中有ACBDa，取AC中点E，ABBC2，则BEAC，BE ，易得DEBE，在BDE中由三边关系可得2 a，解得0a2；图(2)取BD中点F，ABADa，AFBD，AF，BCCDBD2，CF，在AFC中由三边关系可得22，解得a；综上a的取值范围为(0，)，故选A.答案：A二、填空题6(2009安徽)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点答案：7(2009江西)体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于_解析：设正方体棱长为a，球半径为r.a38，a2，4r26a2，r ，V球3.答案：8如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_解析：将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图连结A1C即为CPPA1的最小值，过点C作CDC1D于D点，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C5.答案：59(2009浙江理)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AKt，则t的取值范围是_解析：如图，在平面ADF内过D作DHAF，垂足为H，连结HK，过F点作PFBC交AB于点P.设FAB，则cos .设DFx，则1x2.DK平面ABC，DHAF，则AHHK.在RtADF中，AF，DH .ADF和APF都是直角三角形，PFAD，RtADFRtAPF，AH ，APDFx.在RtAHK中，cos ，在RtAPF中，cos ，cos ，x.1x2，12，t1. ，即即，1t22，t1综上知t1.答案：三、解答题10(2010江苏镇江调研)如图，在四棱锥PABCD中，PAPB，底面ABCD是菱形，且ABC60，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足DE2PE，求证：(1)平面PAB平面PMC；(2)直线PB平面EMC.证明：(1)PAPB，M是AB的中点PMAB.底面ABCD是菱形，BABC.ABC60，ABC是等边三角形则CMAB.PMCMM，AB平面PMC，AB平面PAB，平面PAB平面PMC.(2)连BD交MC于F，连EF.由CD2BM，CDBM，易得CDFMBF.DF2BF.DE2PE，EFPB.EF平面EMC，PB平面EMC，PB平面EMC.11(2009广东理)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG1平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值(1)解：点A、E、G、F在平面DCC1D1的投影分别为点D、E1、G1、F，连结EF、EE1、EG1、ED.则VEDE1FG1VFEE1G1VDEE1G11111.(2)证明：点E在平面DCC1D1的正投影为点E1，则EE1面DCC1D1.FG1平面DCC1D1，EE1FG1.在E1FG1中，FG1，E1F，E1G12，FEFGE1G4，FG1FE1.FE1EE1E1，FG1平面FEE1.(3)解：取正方形ADD1A1的中心为M，连结EM、AM，则EM綊E1G1，且EM面AA1D1D，EMAM.AM，AE ，EM2， sin AEM.异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为.12(2009海南、宁夏卷)如右图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SOAC.在正方形ABCD中，ACBD，又SOBDO，AC平面SBD，ACSD.(2)设正方形ABCD的边长为a，则SDa.又ODa，SDO60.连接OP，由(1)知AC平面SBD，ACOP，且ACOD，POD是二面角PACD的平面角由SD平面PAC知，SDOP，POD30，即二面角PACD的大小为30.(3)在棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.由(2)可得PDa，故可在SP上取一点N，使PNPD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN，在BDN中，知BNPO.又NEPC，平面BEN平面PAC，BE平面PAC，由于SNNP21，故SEEC21.- 7 -用心 爱心 专心