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高考数学常考题型的总结(必修五) 对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础知识点,而且还要考查解题方法和解题思路 的问题。同学们在复习过程中,一定要明白什么是重要,什么是难点,什么是常考知识点。对重难点要了如指掌, 能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点,更重要的要对知识点理解的有深度,对经典题型或高考常 考题型掌握到相当熟练的程度。 人们常说, 只有你多于一桶水的能力, 在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来, 否则,基本不可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容 : 解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢?这是我们师生共同 研究的问题。虽然高考题不能面面俱到,但是我们在复习的时候,一定要不留死角,对常考题型的知识点和方法 能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解: 解三角形 解三角形是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为 5-12 分。考查的时候,可能 是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与三角函数,平面向量等知识点进行综合考 查,难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第 17 题,属于拿分题。 知识点:正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理:(为的外接圆半径)R C c B b A a 2 sinsinsin RABC 余弦定理:,Cabcbacos2 222 Bacbcacos2 222 Abcacbcos2 222 (变形后),C ab cba cos 2 222 B ac bca cos 2 222 A cb abc cos 2 222 三角形的面积的公式:。AbcBacCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 知识点分解: (1)两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特别注意两种三角形的情况。 (2)两角一边,求另外一角和两边,肯定是正弦定理。 (3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理。 (4)知道三边的关系用余弦定理。 (5)求三角形的面积,或和向量结合用向量的余弦公式。 (6)正余弦定理与其他知识的综合。 必须具备的知识点:三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。 可能综合的知识点:三角函数以及正余弦定理的模块内部综合;和与数列的综合、与平面向量的综 合、以及与基本不等式的综合。 解三角形常考的题型有: 考点一 正弦定理的应用 例:在ABC中,则 60,10,15AbaBcos 答案: 6 3 知识点:正弦定理和三角同角关系 思路:(方法不唯一)利用正弦定理先求出,然后利用同角三角函数的关系可求出。BsinBcos 考点二 余弦定理的应用 例:在ABC 中,已知,求的值32a26 c 60Bb 答案:22b 知识点:余弦定理 思路:直接利用余弦定理,即可求出的值。Bacbcacos2 222 b 考点三 正、余弦定理的混合应用 例:设的内角所对边的长分别为。若,则则角_.ABC, ,A B C, ,a b c2bca3sin5sin,ABC 答案: 3 2 知识点:正余弦定理 思路:(方法不唯一)先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角。C 考点四 三角形的面积问题 例:在中,角所对应的边分别为,若,且求的值ABCCBA、cba、BCA2, 3, 1ba ABC S 答案: 2 3 知识点:三角形的面积 思路:先求出,然后由三角形面积公式即可。B 考点五 最值问题 例:在中,60 ,3BAC ,则2ABBC的最大值为ABC 答案:72 知识点:正弦定理和三角恒等变换 思路:(方法不唯一)先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题。 考点六 三角形形状的判断 例:已知中,判断三角形的形状ABCBbAacoscos 答案:等腰三角形或直角三角形 知识点:正弦定理和二倍角公式 思路:先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式讨论即可。 考点七 三角形个数的判断 例:在中,角所对应的边分别为,若,且求的值ABCCBA、cba、 30A, 3, 1bac 答案:1 或 2 知识点:正余弦定理 思路:分类讨论或两种情况。 60B 120B 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例:在中,角所对应的边分别为,若,求的面积的最大值。 ABCCBA、cba、2, 4 ba ABC 答案:12 知识点:三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路:先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最后基本不等式求最值。 例:设的内角所对的边长分别为,且,求的最大ABCABC, ,abc, , 3 coscos 5 aBbActan()AB 值。 答案: 3 4 知识点:正弦定理、正切差公式和基本不等式 思路:先通过正弦定理,得到,然后正切差公式,最后应用基本不等式。BAtan4tan 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例:在中,的面积,求ABC6,AC AB ABC3 3A 答案: 3 知识点:三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路:先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。 例 : 在中, 边所对的角为, 向量, 且向量与的夹角是。 ABCcC) 2 sin, 2 (cos), 2 sin, 2 (cos CC n CC mmn 3 求角的大小C 答案: 3 C 知识点:向量中的坐标运算和余弦公式 思路:先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解。 考点十 数列在解三角形上的应用 例:设的内角所对的边长分别为,若依次成等比数列,角的取值范围.ABCABC, ,abc, ,abc, ,B 答案: 3 , 0( 知识点:余弦定理、等比数列和基本不等式 思路:先用等比数列,然后余弦定理,最后用基本不等式求最值。 考点十一 解三角形的实际应用 例:如图,都在同一个与水平面垂直的平面内,为两岛上DCBA、DB、 的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角分别为ABD 75 ,于水面处测得点和点的仰角均为,。 试探究图中间距离与另外哪两 30CBD 60kmAC1 . 0DB、 点间距离相等,然后求的距离(计算结果精确到,) DB、km01 . 0 414 . 1 2 449 . 2 6 答案:0.33km 知识点:正弦定理和三角形的相关知识 思路:先通过三角形的相关知识进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度。 考点十二 解三角形的综合题型 例:已知分别为三个内角的对边,, ,a b cABC, ,A B Ccos3 sin0aCaCbc (1)求 (2)若,的面积为;求。A2a ABC3, b c 答案:(1) (2) 60A2bc 知识点:正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式 思路:(1)先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出。A (2)利用角,再通过余弦定理,就可以求出的值。A, b c 数列 数列是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为 10-17 分。考查的时候,可 能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与不等式,函数等知识点进行综合考查。 以前考题比较难一些,现在多数比较简单,但是常用的方法还是比较经典的。 知识点:数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列 知识点分解: (1)递推公式:建立前项和和的关系。n n S n a (2)等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。n n S (3)等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题。n n S (4)数列求通项公式的几种方法。 (5)数列求和的几种方法。 (6)数列的综合问题 必须具备的知识点:函数、导数、不等式,平面向量、三角函数等相关知识。 可能综合的知识点:数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。 数列的常见题型: 考点一 和的关系 n S n a 1 2 1 1 na nSS a nn n 例:数列 n a的前n项和为, n S 已知,求的值,以及数列 n a的表达式。 2 nSn 8 a 答案:,15 8 a12 nan 知识点:递推公式 思路:已知项数,求具体值;未知项数,求表达式。nn 考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项公式 , (等差数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式)dnaan) 1( 1 da , 1 n a (等差数列通项公式的变形公式)dmnaa mn )( 例:已知等差数列中,,求数列的公差以及数列的通项公式; n a3, 1 31 aad n a 答案:,2dnan23 知识点:等差的公差和通项公式 思路:利用数列的通项公式先求出公差,然后求数列的通项公式。d n a 2 等差数列的性质 (都是正整数) ,(都是正整数) ,是和qpmn qpmn aaaaqpn2 qpn aaa2 n a p a 的等差中项。 q a 例:已知等差数列中,,求以及的值 n a7, 1 95 aa 131 aa 7 a 答案:,6 131 aa3 7 a 知识点:等差数列的性质 思路:等差数列的性质和等差中项可得到。 3 等差数列的求和 (知三求一,如果已知,那么求的是的表达式) , 2 ) 1( )( 2 11 dnn naaa n S nn da , 1n S (为奇数)或。 2 1 nn naSn mm amS) 12( )12( 例:设等差数列 n a的前n项和为 n S,若 36 324SS,则的值 9 S 答案:63 知识点:等差数列的求和 思路 : (方法不唯一)通过等差数列前n项和为 n S,先求出和,然后再利用等差数列前n项和,求。 1 ad 9 S 4 等差数列求和中的最值问题 类似于二次函数,当时,有最小值;当时,有n d an ddnn naSn) 2 ( 22 ) 1( 1 2 1 0d n S0d n S 最大值。 例:设等差数列的前 n 项和为,已知,求中的最大值 n a n S2, 9 3 da n S 答案:49. 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路:先利用等差数列的前n项和 n S表达式,然后利用二次函数的知识求最大值。 例:设等差数列的前 n 项和为,已知,求中的最小值 n a n S2, 9 3 da n S 答案:-36 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路:先利用等差数列的前n项和 n S表达式,然后利用二次函数的知识求最小值 5 等差数列的证明 (等差数列的定义表达式)daa nn 1 例:设数列的前 n 项和为,求证:是等差数列。 n a n S109,10 11 nn Saalg n a 答案:首项为 1,公差也为 1 的等差数列 知识点:对数函数的知识和等差数列 思路:先求出,然后利用等差数列的定义表达式,证明等差数列。1lg 1 adaa nn 1 6 已知等差数列 n a中,, 0,16 6473 aaaa求数列 n a前 n 项和。 n S 答案:或nnSn9 2 nnSn9 2 知识点:解方程和等差数列的和 思路:先利用等差数列的知识求出首项和公差,然后再求前 n 项和 n S 考点三 等比数列 1 等比数列的公比和通项公式 (等比数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式))0( 1 1 qqaa n n qa , 1 n a (等比数列通项公式的变形公式) mn mn n q a a 例:已知等比数列中,求等比数列的公比和数列的通项公式; n a8, 2 31 aaq n a 答案:,2q n n a)2( 知识点:等比数列的公比和通项公式 思路:利用等比数列的通项公式即可求出。 2等比数列的性质 (都是正整数) ,(都是正整数) ,是和的qpmn qpmn aaaaqpn2 qpn
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