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第8课时 空间的角基础过关1两异面直线所成的角:直线a、b是异面直线,经过空间一点O分别引直线a a,b b,把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角,其范围是 2直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角,叫做这条斜线和平面所成的角规定: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 角; 一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 角其范围是 公式:coscos1cos2,其中,1是 ,2是 ,是 3二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角PBEFDCA4二面角的平面角:以二面角的棱上 一点为端点,在两个面内分别作 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,其范围是 典型例题例1. 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点(1)求EF与平面PAD所成角的大小;A1B1D1C1DABC(2)求EF与CD所成角的大小;(3)若PDA45,求:二面角FABD的大小解:(1)易知EF平面PAD,故EF与平面PAD成角为0;(2)易知EFCD,故EF与CD成角为90;(3)取AC中点为0,则FEO为所求二面角的平面角,易求得FEO45变式训练1:如图,ABCDA1B1C1D1是正四棱柱,若二面角C1BDC的大小为60,求异面直线BC1与AC所成的角的大小答案:arccos例2. 在等腰梯形ABCD中,AB20,CD12,它的高为2,以底边的中垂线MN为折痕,将梯形MBCN折至MB1C1N位置,使折叠后的图形成120的二面角,求:CDABB1MNC1 AC1的长; AC1与MN所成的角; AC1与平面ADMN所成的角答案:(1) 16 (2) arcsin (3) arcsinABOCDS变式训练2:已知四边形ABCD内接于半径为R的O,AC为O的直径,点S为平面ABCD外一点,且SA平面ABCD,若DACACBSCA30,求: 二面角SCBA的大小; 直线SC与AB所成角的大小答案:(1) arctan (2) arccos例3. ABC和DBC所在平面互相垂直,且ABBCBD,ABCDBC120求: AD与平面DBC所成的角;ABDC 二面角ABDC的正切值解:(1) 作AEBC交BC的延长线于E,由面ABC面BCD知AE向BCD,ADE即为所求,求得ADE45(2) 作EFBO于F,AFE即为所求,求得tanAFE2变式训练3:正三棱柱ABCA1B1C1中,E是AC中点BB1AECC1A1 求证:平面BEC1平面ACC1A1; 求证:AB1平面BEC1; 若,求二面角EBC1C的大小答案: (1) 略 (2) 略 (3) 45例4: 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABBCa,AA12AB,M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时,B1M与平面AA1C1C所成的角为30;(2) 在(1)的条件下,求AM与A1B所成的角.ACMA1B1C1B解(1) 取A1C1的中点N1,连结B1N1,N1M,由已知易知B1N1平面A1C1CA. B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角,设C1Mx,B1N1a.BEADFCsin B1MN1, 解得xa,则C1MC1C, M为C1C的中点.(2) arccos变式训练4:已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二AEFBCD面角ADEC的大小为,若ACD 为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G 是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值解:点A在平面BCDE内的射影在直线EF上,过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连结GC、GDACD为正三角形,ACAD,GCGD,G在CD的垂直平分线上,又EF是CD的垂直平分线,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDEAHG是二面角ADEC的平面角,即AHG,设原正方形ABCD的边长为2a,由直角三角形的射影定理,可得AH,GH,小结归纳1两异面直线所成角的作法: 平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,常常利用中位线或成比例线段引平行线; 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的是容易作出两条异面直线所成的角2作出直线和平面所成角的关键是作垂线,找射影3平面角的作法: 定义法; 三垂线法; 垂面法4二面角计算,一般是作出平面角后,通过解三角形求出其大小,也可考虑利用射影面积公式 SScos来求5空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成- 3 -
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