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课时作业(四十七)一、选择题1两个平面重合的充要条件是()A有三个公共点B有无数个公共点C有一条公共的直线 D有两条公共的直线答案D解析由公理3及推论满足的条件知:A、B、C不正确对于D,若两个平面重合,则这两个平面必有两条公共直线,反之,若两个平面有两条公共直线,则这两条直线为平行直线,或相交直线,据公理3的推论,过两条平行直线、相交直线有且只有一个平面,所以这两个平面重合,故D正确,所以选D.2如图所示,l,A、B,C,且Cl,直线ABlM,过A、B、C三点的平面记作,则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M答案D解析通过A、B、C三点的平面,即是通过直线AB与点C的平面,MAB.M,又M,C和的交线必通过点C和点M.3(09湖南)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4C5 D6答案C解析依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1、BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD、C1D1,故符合条件的棱共有5条,选C.4(2010江西卷)如图,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行其中真命题是()A BC D答案C解析 将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得的平面与直线AB,B1C1都相交,故错误,排除ABD,选C.5正方体ABCDA1B1C1D的棱长为1,M、N分别为BB1、C1D1的中点,设平面A1MN与棱CC1的交点为P,则NP的长为()A. B.C. D.答案B6正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别为AB、AD、B1C1的中点,那么正方体的过P、Q、R点的截面图形是()A四边形 B三角形C五边形 D六边形答案D解析如右图取C1D1的中点H,连结HR,则有HR綊QP.再取BB1与D1D的中点M、N,连结PM、MR、HN、NQ,有HRMPQN为正六边形7对于不同的点A、B、C,直线a、b、l,平面有下列命题:若l上有一点在外,则l有无穷多点在外;若A,B,CAB,则C;若a,b,lA,lbB,则l;若l上有两点在外,则l上所有点在外,其中真命题的个数为()A4 B3C2 D1答案B解析当直线l与平面相交时,满足l上有两点在外,但交点在内,不真其余命题可由公理1验证,均为真命题选B.8在空间,下列命题中正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形答案C解析若两组对边都异面,则可相等,排除A和B.若一组对角相等,有可能一个角的两条边与另一角的两条边分别是异面直线,这时是空间四边形,所以D不对,由公理3的推论知C是正确的9正方体ABCDA1B1C1D1,E、F分别是AA1、CC1的中点,P是CC1上的动点(包括端点),过E、D、P作正方体的截面,若截面为四边形,则P的轨迹是()A线段C1F B线段CFC线段CF和一点C1 D线段C1F和一点C答案C10一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为()A. B1C1 D2答案D解析根据平面图形斜二测直观图的画法,所求平面图形为四边形;由“横不变”知,四边形为梯形,且上底边长为1,容易求得下底边长为1;由直观图的底角45知,这个梯形为直角梯形;再由“竖取半”知,腰长为2,故这个平面图形的面积为S1(1)22.11如图所示,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45答案D解析A中,A1BD为等边三角形,所以三心合一ABAA1AD,H到A1BD各顶点的距离相等,即H为外心垂心,A正确;CD1BA1,CB1DA1,CD1CB1C,平面CD1B1平面A1BD.AH平面CB1D1,B正确;连AC1,则AC1B1D1,B1D1BD,AC1BD同理AC1BA1.AC1平面A1BD.A、H、C1三点共线,C正确,故选D.二、解答题12如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为AA1,D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置;(2)设lA1B1P,求PB1的长;(3)求D1到l的距离解析(1)面DMN面AA1D1DDM在面AA1D1D中,DM的延长线交D1A1的延长线于E,则EDM,DM面DMN,E面DMN又EA1D1而A 1D1面A1B1C1D1,E面A1B1C1D1,同理,N面DMN且N面A1B1C1D1,E、N都为面DMN和面A1B1C1D1的公共点,面DMN面A1B1C1D1EN直线EN为所求的l.(2)M为AA1的中点,AA1DD1A1为D1E的中点,又A1B1C1D1A1P綊D1Na,PB1a.(3)在面A1B1C1D1中,作D1HEN于H在RtED1N中,D1E2a,D1Na,ENaD1Ha.13正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点,求证(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点;(3)若Q是A1C与平面ABC1D1的交点,则B、Q、D1三点共线证明(1)E、F分别是AB和AA1的中点,连结EF,则EFD1C,E、F、C、D1四点共面(2)设D1FDA于G,GDA且GD1F.G面ABCD,且G面EFD1C.GCE.D1F、DA、CE三线共点于G.(3)Q是A1C与面ABC1D1的交点Q是A1C的中点又A1D1綊BC,面A1BCD1是平面四边形,A1C与BD1互相平分Q是BD1的中点,即B、Q、D1三点共线- 6 -用心 爱心 专心
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