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2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 1 / 20 20122012 版高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用 2.32.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 【高考目标导航】 一、考纲点击 1、结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示 1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点; 2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值 及求参数值等问题是重点,也是难点; 3、题型以选择题和填空题为主,还可与其他知识点交汇命题 【考纲知识梳理】 一、函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个,都有 f(-x)=f(x),那么 函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个,都有 f(-x)=-f(x),那 么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 注:1、奇偶函数的定义域的特点:由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中, 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称; 2、存在既是奇函数,又是偶函数的函数,它们的特点是定义域关于原点对称,且解析式化简后等于 零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 (填 “相同” 、 “ 相反” ) 。 2、在公共定义域内, 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 2 / 20 亦即: (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; (2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。 注:以上结论是在两函数的公共定义域内才成立;并且只能在选择题、填空题中直接应用,解答题需 先证明再利用。 3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 4、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称,且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; 5、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立; 6、可逆性: )()(xfxf )(xf是偶函数; )()(xfxf)(xf奇函数; 7、等价性:)()(xfxf0)()(xfxf )()(xfxf0)()(xfxf 8、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称; 9、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数。 三、周期性 1、周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期。 2、最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫 做它的最小正周期。 【要点名师透析】 一、函数奇偶性的判定 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 3 / 20 1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ,即: (1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称。若不对称,则既不是奇函数又不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 若 f(-x)=-f(x)(或 f(-x) +f(x)=0) ,则为奇函数; 若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x),则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x为奇函数; (2)函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中(a0 且 a1)为奇函数; (3)函数 f(x)=loga( 1 1 x x )为奇函数(a0 且 a1); (4)函数 f(x)= loga( 2 1xx)为奇函数(a0 且 a1) 2、例题解析 例 1讨论下述函数的奇偶性: );111(1)()3( ; )0)(1(1 )0(0 )0)(1(1 )()2(; 2 2116 )() 1 ( 22 2 xxogxf xxxn x xxxn xfxf x xx );0( | )()4( 22 a aax xa xf常数 解:(1)函数定义域为 R, 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 4 / 20 )( 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 )(xfxf x xx x x x x x x xx , f(x)为偶函数; (另解)先化简: 1441 4 116 )( xx x x xf ,显然 )(xf 为偶函数;从这可以看出,化简 后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: 设 );()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 )()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(x)=f(x); 由、知,对 xR 有 f(x) =f(x), f(x)为奇函数; (3) 1 01 01 2 2 2 x x x ,函数的定义域为 1x , f(x)=log21=0(x=1) ,即 f(x)的图象由两个点 A(1,0)与 B(1,0)组成,这两点既关于 y 轴对称,又关于原点对称,f(x)既是奇函数,又是偶函数; (4)x2a2, 要分 a 0 与 a 0 时, ), 0() 0 , ( | aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 )(, 0| ,当 a 0 时,f(x)为奇函数; , 2 , 2 , 2 )(, 0| 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 )(,0, 0 3 3 5 3 ) 2 () 2 (xfa a f a f时当 既不是奇函数,也不是偶函数 例 2f(x)是定义在(,55,)上的奇函数,且f(x)在5,)上单调递减, 试判断f(x)在(,5上的单调性,并用定义给予证明 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 5 / 20 解析:任取x1x25,则x1x25 因f(x)在5,上单调递减,所以f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1) f(x2) ,即f(x)在(,5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 (1)分析定义域是否关于原点对称; (2)对 x 的值进行分段讨论,寻求 f(X)与 f(-X)在各段上的关系; (3) 综合(2)在定义域内 f(X)与 f(-X)的关系,从而判断 f(X)的奇偶性。 注:奇偶性是函数的一个整体性质,不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析 例 1已知函数 2 2 4 (0) ( ) 4 (0) xx x x f x xx x x 。试判断( )f x的奇偶性 分析:确定定义域判断每一段上()fx与( )f x的关系判断整个定义域上()fx与( )f x的关 系结论。 解答:由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当0 x 时,0 x 2 22 2 22 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0,0, 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0()( ) ( ) xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx fx xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述,对于x都有成立, 为偶函数。 注:分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围 取相应的解析式化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 6 / 20 例 2判断函数的奇偶性 解析:显然函数 f(x)的定义域为:(-,0)(0,+),关于原点对称, 当 x0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当 x0 时,-x0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 综上可知:对于定义域内的任意 x,总有 f(-x)=-f(x)成立,函数 f(x)为奇函数; 三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现 f(x),f(-x)); (2)巧妙赋值,合理、灵活变形配凑; (3)找出 f(X)与 f(-X)关系,得出结论。 2、例题解析 例 1已知函数 f(x)对一切 x、yR,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12) 分析:判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看 f(-x)与 f(x)的关系,进而得出函数的奇偶性;解 决本题的关键是在 f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现 f(-x);用 a 表示 f(12)实际上是如何用 f(-3)表示 f(12),解决该问题的关键是寻找 f(12)与 f(-3)的关系 解答: 1( ) ()( )( ), 0(0)2 (0),(0)0. ,(0)( )(), ()( ),( ) f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是,关于原点对称。 又函数对一切、都有 令,得 再令得 为奇函数。 (2)( 3)( ) (3)( 3). ()( )( ), (12)(66)(6)(6)2 (6)3 (33)4 (3)4 . faf x ffa f xyf xf y xyR fffffffa 且为奇函数, 又、, 例 2 设函数 )(xf 在 ),( 上满足 )2()2(xfxf , )7()7(xfxf ,且在闭区间 0,7上,只有 0)3() 1 ( ff 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 7 / 20 (1)试判断函数 )(xfy 的奇偶性; (2)试求方程 0)(xf 在闭区间 2005,2005 上的根的个数,并证明你的结论。 解析:(1)由 )2()2(xfxf ,得函数 )(xfy 的对称轴为 2x )5() 1(ff 而 ) 1() 1 (0)5(fff ,即 )(xf 不是偶函数 又 )(xf 在0,7上只有 0)3() 1 ( ff 0)0(f 从而知函数 )(xfy 不是奇函数 故函数 )(xfy 是非奇非偶函数 (2) )7()7( )2()2( xfxf xfxf )14()4( )14()( )4()( xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf 从而知函数 )(xfy 的周期为 T=10 又 0) 1 ()3( ff 0)9()7()13()11(ffff 故 )(xf 在0,10和 0 , 10 上均有 2 个根,从而可知函数 )(xfy 在0,2000上有 400 个根,在 2000,2005上有 2 个根,在 0 ,2000 上有 400 个根,在 2000,2005 上没有根。 函数
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