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2011年高考数学第二轮复习 函数教学案2011年高考第二轮专题复习(教学案):函数考纲指要:函数是整个高中数学的重点,其中函数思想是最重要的数学思想方法,通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果。考点扫描:1.函数概念,构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域。 2. 函数性质:(1)奇偶性;(2单调性;(3)最值;(4)周期性。 3基本初等函数:正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。4函数图象:图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等;结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 5函数应用:以基本初等函数为载体,通过它们的性质(单调性、极值和最值等)来解释生活现象,主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。考题先知:例1 定义域为R的函数,若,则关于的方程,的不同实根共有( )个。 A. 4 B.5 C.7 D.8解析: 方程可化为或。而的图象大致如图1所示,yx123O由图可知,直线与的图象有3个交点,直线与的图象有4个交点,即方程有3个实根,方程有4个实根,从而原方程共有7个实根,故答案选C。例2函数满足,则这样的函数个数共有( )(A) 1个 (B)4个 (C)8个 (D) 10个分析:这是一个从集合A到集合A的函数,由于集合A中的元素仅有三个,情况比较简单,通过列举便可解决此题。解:若,则一定满足,这样的函数个数有3个;若,则一定满足,类似的函数个数有个;若,则一定满足,这样的函数个数有1个,综上所述,共有10个,故选D。点评:将上述问题推广为:设,函数,则满足的函数共有多少个?解:令,则有,即有,在的作用下函数是自身。(1)当t只取一个数时,不妨设此元素为,那么其它元素的函数值也只能是,故此时满足条件的函数只能有一个,由于元素的不同选择有n种,所以此类满足条件的函数共n个。(2)当t恰好取2个数时,不妨设这两个元素为,那么其它元素的函数值就只能取或,其它元素有n-2个,由乘法原理满足条件的函数共有个,又因为的选择有种,故此类满足条件的函数共有个。同理,当t恰取3个数时,满足重要任务的函数共有个。当t恰取n个数时,满足条件的函数共有个。综上所述,满足条件的函数共有个。复习智略: 例3。已知函数。()是否存在实数、,使得函数的定义域与值域都是,若存在,求出、的值;若不存在,请说明理由;()若存在实数、,使得函数的定义域,值域为,求实数的取值范围解析:()假设存在实数、,使得函数的定义域与值域都为,因为,所以。又因为,故,此时 当时,在上是减函数,故可得矛盾,此时实数、不存在; 当时,在上是增函数,故,可得、是方程的根,该方程无解,故此时实数、也不存在; 当且时,显然,则,矛盾,所以此时实数、也不存在;综上知,适合条件的、不存在。()因为,而,所以,则由,知。仿()可知,当以及当且时,都不符合要求;当时,由可得、是方程不小于的两个相异实根,由实根分布知识可得,从而实数的取值范围是。检测评估:1若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,称这些函数为“同族函数”,则函数的解析式为,值域为的“同族函数”共有( )个。A8 B9 C10 D无数个2. 若方程有解,则属于以下区间 ( )A. B. C. D.3已知函数上单调递减,那么实数a的取值范围是( )A(0,1)BCD4. 设函数,数列是公比为的等比数列,若则的值等于 A-1976 B-1990 C2042 D20385定义域和值域均为a,a(常数a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示:给出下列四个命题:方程fg(x)=0有且仅有三个解;方程gf(x)=0有且仅有三个解;方程ff(x)=0有且仅有九个解;方程gg(x)=0有且仅有一个解。ABCD6在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当ab时,aba;当ab时,abb2;则函数f(x)(1x)x(2x),x2,2的最大值等于 (“”与“”分别为乘法与减法)7若为的各位数字之和如:因为,所以记,则= 8.已知定义在上的函数满足下列三个条件:对任意的都有;对于任意的时,;的图象关于轴对称,则的大小关系是 .9定义在R上的函数为奇函数. 给出下列结论:函数的最小正周期是;函数的图象关于点(,0)对称;函数的图象关于直线对称;函数的最大值为其中正确结论的序号是 .(写出所有你认为正确的结论的序号)10已知函数,正实数、成公差为正数的等差数列,且满足,若实数是方程的一个解,那么下列四个判断:;中有可能成立的的序号是 .(写出所有你认为正确的结论的序号)11 已知函数f1(x)=, f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=,试画出y=f(x)的图像并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积;(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数a的范围 (3)若f1(x)f2(xb)的解集为1,求b的值 12A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:对任意,都有 ; 存在常数,使得对任意的,都有(1)设,证明:(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。点拨与全解:1解:令得,同理令得,四个元素构成值域为的函数的定义域有,。共9个,选B。2解:记,因,故选B。3解:由条件得:,故选C。4解:因数列是公比为的等比数列,所以=,故选A。5解:因为方程f(x)=0有三个解,不妨设为x1,x2,x3,且-ax1x2x3a,所以方程fg(x)=0可化为g(x)= x1,x2,x3, 有且仅有三个解,即命题正确;同理,方程gg(x) =0有且仅有一个解,命题正确;因为方程g(x)=0有一个解,不妨设为x0,且-ax0 f2(xb)的解集为1,则可解得b= 12解:对任意,所以对任意的,所以0,令=,所以反证法:设存在两个使得,。则由,得,所以,矛盾,故结论成立。,所以,+。9 / 9
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