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第1课时离散型随机变量的均值 学习目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜,其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.思考1任取1个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试问X可以取哪些值?思考2X取上述值时,对应的概率分别是多少?思考3如何求每个西瓜的平均重量?梳理随机变量X的均值(1)均值的定义设随机变量X的可能取值为a1,a2,ar,取ai的概率为pi(i1,2,r),即X的分布列为P(Xai)pi(i1,2,r),则X的均值EX_.(2)均值的意义均值刻画的是随机变量X取值的“_”知识点二两种特殊随机变量的均值1当随机变量服从参数为n,p的二项分布时,其均值为_2当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,它的均值EX_.类型一离散型随机变量的均值命题角度1一般离散型随机变量的均值例1某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得100分,假设这名同学回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的分布列和均值;(2)求这名同学总得分不为负分(即X0)的概率反思与感悟求随机变量X的均值的步骤(1)理解随机变量X的意义,写出X所有可能的取值(2)求出X取每个值的概率P(Xk)(3)写出X的分布列(4)利用均值的定义求EX.跟踪训练1在有奖摸彩中,一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?命题角度2二项分布与超几何分布的均值例2根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的均值反思与感悟如果随机变量X服从二项分布即XB(n,p),则EXnp;如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EXn,以上两个特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了烦琐的计算过程跟踪训练2一个口袋内有n(n3)个大小相同的球,其中有3个红球和(n3)个白球已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球,求取到白球的个数的均值E.类型二均值的实际应用例3某商场准备在“五一”期间举行促销活动根据市场行情,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客,同时允许顾客有3次抽奖的机会,若中奖一次,就可以获得一次奖金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,且每次获奖的奖金数额相同,请问:该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元,此促销方案才能使商场自己不亏本?反思与感悟处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并写出分布列,最后利用有关的公式求出相应的概率及均值跟踪训练3企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和均值1现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为,.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润,则X的均值为()A1.18 B3.55 C1.23 D2.382若p为非负实数,随机变量的分布列为012Ppp则E的最大值为()A1 B. C. D23设随机变量XB(40,p),且EX16,则p等于()A0.1 B0.2 C0.3 D0.44袋中有7个球,其中有4个红球,3个黑球,从袋中任取3个球,以X表示取出的红球数,则EX_.5袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球,表示所取球的标号(1)求的分布列、均值;(2)若a4,E1,求a的值1求随机变量的均值的步骤(1)写出随机变量所有可能的取值(2)计算随机变量取每一个值时对应的概率(3)写出分布列,求出均值2离散型随机变量均值的性质(1)E(cX)cEX(c为常数)(2)E(aXb)aEXb(a,b为常数)(3)E(aX1bX2)aEX1bEX2(a,b为常数)答案精析问题导学知识点一思考1X5,6,7.思考2P(X5),P(X6),P(X7).思考3567.梳理(1)a1p1a2p2arpr(2)“中心位置”知识点二1np2n题型探究例1解(1)X的可能取值为300,100,100,300.P(X300)0.230.008,P(X100)C0.80.220.096,P(X100)C0.820.210.384,P(X300)0.830.512,所以X的分布列为X300100100300P0.0080.0960.3840.512所以EX(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分)(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.跟踪训练1解设一张彩票的中奖额为随机变量X,显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意,可得X的分布列为X0525100P所以EX05251000.2,所以一张彩票的合理价格是0.2元例2解设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p(10.5)0.3,解得p0.6.(1)设所求概率为P1,则P11(10.5)(10.6)0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2),EX1000.220.X的均值是20.跟踪训练2解p,n5,5个球中有2个白球取到白球的个数服从参数为N5,M2,n3的超几何分布,则E.例3解(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A,则P(A)1.即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.(2)设顾客抽奖的中奖次数为X,则X0,1,2,3,于是P(X0),P(X1)C2,P(X2)C2.P(X3),顾客中奖的均值EX01231.5.设商场将每次中奖的奖金数额定为x元,则1.5x180,解得x120,即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元,才能使自己不亏本跟踪训练3解记E甲组研发新产品成功,F乙组研发新产品成功由题设知P(E),P(),P(F),P(),且事件E与F,E与,与F,与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功,则 ,于是P()P()P(),故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X0)P( ),P(X100)P( F),P(X120)P(E ),P(X220)P(E F),故所求的分布列为X0100120220PEX0100120220140.当堂训练1A2.B3.D4.5解(1)的分布列为01234P的均值为E01234.(2)EaE41,又E,则a41,a2.
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