11正弦定理(一)学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理的推导思考1如图，在RtABC中，、各自等于什么？思考2在一般的ABC中，还成立吗？课本是如何说明的？梳理任意ABC中，都有，证明方法除课本提供的方法外，还可借助边AB上的高CDbsin Aasin B、三角形面积公式、外接圆来证明知识点二正弦定理的呈现形式1._2R(其中R是_)；2a2Rsin A；3sin A，sin B_，sin C_.知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形类型一定理证明例1在钝角ABC中，证明正弦定理反思与感悟(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固(2)要证，只需证asin Bbsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力跟踪训练1如图，锐角ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证：2R.类型二用正弦定理解三角形例2在ABC中，已知A32.0，B81.8，a42.9 cm，解三角形反思与感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：已知三角形的任意两角与一边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角跟踪训练2在ABC中，已知a18，B60，C75，求b的值类型三边角互化命题角度1边化角例3在任意ABC中，求证：a(sin Bsin C)b(sin Csin A)c(sin Asin B)0.命题角度2角化边例4在ABC中，A，BC3，求ABC周长的最大值反思与感悟利用2R或正弦定理的变形公式aksin A，bksin B，cksin C(k0)能够使三角形边与角的关系相互转化跟踪训练3在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ABC123，求abc的值1. 在ABC中，一定成立的等式是()Aasin Absin B Bacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos Bbcos A2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形3在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则AB_.4在ABC中，a，b，B，则A_.1. 定理的表示形式：2R，或aksin A，bksin B，cksin C(k0)2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决答案精析问题导学知识点一思考1c.思考2在一般的ABC中，仍然成立，课本采用向量来证明的知识点二1.ABC外接圆的半径3.题型探究例1证明如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sinCADsin(180A)sin A，sin B.CDbsin Aasin B.同理，.故.跟踪训练1证明连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.例2解根据三角形内角和定理，C180(AB)180(32.081.8)66.2.根据正弦定理，b80.1(cm)；根据正弦定理，c74.1(cm)跟踪训练2解根据三角形内角和定理，A180(BC)180(6075)45.根据正弦定理，b9.例3证明由正弦定理，令aksin A，bksin B，cksin C，k0.代入得：左边k(sin Asin Bsin Asin Csin Bsin Csin Bsin Asin Csin Asin Csin B)0右边，所以等式成立例4解设ABc，BCa，CAb.由正弦定理，得2.b2sin B，c2sin C，abc32sin B2sin C32sin B2sin32sin B233sin B3cos B36sin，当B时，ABC的周长有最大值9.跟踪训练3解ABC，ABC123，A，B，C，sin A，sin B，sin C1.设k(k0)，则aksin A，bksin Bk，cksin Ck，abc112.当堂训练1C2.B3.24.或