22一元二次不等式的应用学习目标1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一分式不等式的解法思考0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)0_；(2)0(3)a0.知识点二穿针引线法解高次不等式思考分别画出yx1，y(x1)(x2)，y(x1)(x2)(x3)的图像，并观察它们与相应的x10，(x1)(x2)0，(x1)(x2)(x3)0的关系梳理一般地f(x)(xa)(xb)(xc)(ab0(或0.则拣取区间(a，b)(c，)，即为所求解集知识点三一元二次不等式恒成立问题思考x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？梳理一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图像全部在x轴_方区间a，b 是不等式f(x)0的解集的_恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：若f(x)有最大值，则kf(x)恒成立k_；若f(x)有最小值，则kf(x)恒成立k_.类型一一元二次不等式在生活中的应用例1某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：sxx2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”跟踪训练1在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲，乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任类型二分式不等式和高次不等式的解法例2解下列不等式：(1)0；(2)1；(3)(3x1)(x3)(x1)0(1；(3)0.类型三不等式的恒成立问题例3设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解跟踪训练3当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_1若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m22若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x1.1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解当不等式含有等号时，分母不为零2对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立a0(2)f(x)g(x)0g(x)0知识点二思考图像y0解集(1，)(，1) (2，)(1,2) (3，)不等式的解集恰是对应图像当y0时相应的横坐标集合梳理x轴的一个交点(c，)，(b，c)，(a，b)，(，a)知识点三思考x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图像恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集梳理上子集f(x)maxf(x)min题型探究例1解设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，根据题意，得xx239.5.移项整理，得x29x7 1100.显然0，x29x7 1100有两个实数根，即x188.94，x279.94.然后，根据二次函数yx29x7 110的图像，得不等式的解集为x|x79.94在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.跟踪训练1解由题意列出不等式S甲0.1x甲0.01x2甲12，S乙0.05x乙0.005x2乙10.分别求解，得x甲30，x乙40.由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任例2解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4.原不等式的解集为.(3)令(3x1)(x3)(x1)0，得x13，x21，x3.如图穿针引线(3x1)(x3)(x1)0的解集为(，3)(1，)跟踪训练2解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.(3)原不等式可化为令(3x1)(2x1)(x1)0，得x1，x2，x31.如图穿针引线：由图知的解集为(，)，1例3解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述：m.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可跟踪训练3(，5解析构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx42，原不等式的解集为x|x1或x2(2)原不等式可改写为10，即0，(6x4)(4x3)0，x，原不等式的解集为.