第一章 数列学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力知识点一知识网络知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推公式an1andq中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时A叫作a与b的等差中项，并且A如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn1前n项和公式Snna1dq1时，Sn，q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN，mnstamanasatamanasatkn是等差数列，且knNakn是等差数列akn是等比数列n2k1，kNS2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p、q为常数anabn(a0，b0)利用前n项和公式Snan2bn (a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了法和法；2在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了法和法3等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意个求其余个，用到了方程思想4在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了5等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类型一方程思想求解数列问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.反思与感悟在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量跟踪训练1记等差数列的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.类型二转化与化归思想求解数列问题例2在数列an中，Sn14an2，a11.(1) 设cn，求证数列cn是等差数列；(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式反思与感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出跟踪训练2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列类型三函数思想求解数列问题命题角度1借助函数性质解数列问题例3已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN)，Snb1b2bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由反思与感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响跟踪训练3已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN)，求数列Tn最大项的值与最小项的值命题角度2以函数为载体给出数列例4已知函数f(x)2|x|，无穷数列an满足an1f(an)，nN.(1)若a10，求a2，a3，a4；(2)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值反思与感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题跟踪训练4已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.1设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和(nN)，且S9S2，S44S2，则数列an的通项公式是2若数列an的前n项和Snn2n(n1,2,3，)，则此数列的通项公式为；数列nan中数值最小的项是第项3设等差数列an的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn，已知a11，b13，a3b317，T3S312，求an、bn的通项公式1等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和答案精析知识梳理知识点三1累加累乘2倒序相加错位相减3三两4函数5类比题型探究例1解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.跟踪训练1解设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN.例2(1)证明 由Sn14an2，则当n2，nN时，有Sn4an12.得an14an4an1.方法一对an14an4an1两边同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，数列cn是等差数列由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以为首项，为公差的等差数列方法二an12an2an4an12(an2an1)，令bnan12an，则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列，bn32n1， cn， cn1cn，c1， cn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列(n1)n，an(3n1)2n2是数列an的通项公式设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2，2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1，故Sn2SnSn(31)213(20212n2)(3n1)2n113(3n1)2n113(3n4)2n12(3n4)2n1. 数列an的通项公式为an(3n1)2n2，前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，nN.跟踪训练2(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例3解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d0，d2.a11.an2n1 (nN)(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是递增的S1为Sn的最小值，故，即t9.又tZ，适合条件的t的最大值为8.跟踪训练3解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an()n1(1)n1.(2)由(1)得Sn1()n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1.故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.综上，对于nN，总有Sn且Sn0.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.例4解(1)由an1f(an)an12|an|，a10a22，a30，a42.(2)