12.2 坐标系与参数方程,一、极坐标系 在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个 ,一个 及其 ,这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 ,记为,有序数对 ,叫做点M的极坐标,记作 .,长度单位,角度单位,正方向,极径,极角,(,),(,),考点分析,二、圆锥曲线的参数方程 1.椭圆 (ab0)的参数方程 为 . 2.双曲线 - (a0,b0)的参数方程 为 . 3.抛物线y2=2px的参数方程为 .,x=acos y=bsin,x=asec y=btan,x= y=,(为参数),(为参数),(为参数),三、渐开线与摆线 1.圆的渐开线的参数方程为 . 2.摆线的参数方程为 .,x=r(-sin) y=r(1-cos),x=r(cos+sin) y=r(sin-cos),(为参数),(为参数),考点一 极坐标方程,圆心坐标为(a,0),半径为a的圆的极坐标方程是 , 以(a, )为圆心,半径为a的圆的极坐标方程是 .,【分析】考查常见圆的极坐标方程.,题型分析,【解析】因为圆心为(a,0),所以这个圆以(0,0)和(2a,0)的连线为直径,所以这个圆的极坐标方程是=2acos;化为直角坐标即为以(0,a)为圆心,a为半径的圆的方程为x2+(y-a)2=a2,即为x2+y2=2ay,转化为极坐标方程为2=2asin,即=2asin.,【评析】应熟记常见圆的极坐标方程.,对应演练,求过点A(2,0)与极轴夹角为 的直线方程.,因为过A(2,0)与极轴夹角为 的直线有两条,设为l1,l2,过点O作l1,l2的垂线,垂足为点B1,B2,所以B1为(1, ),B2为(1, ),因此两直线的方程分别为 cos(- )=1,cos(- )=1.,考点二 曲线的参数方程,x=(5+ )sin y=(t- )cos(t0). (1)若t为常数,为参数,方程所表示的曲线是什么? (2)若为常数,t为参数,方程所表示的曲线是什么?,已知参数方程,【分析】考查曲线的参数线.,【解析】 (1)当t1时, 表示中心 在原点，长轴为2 ,短轴为2 ,焦点在x轴的椭圆. 当t=1时，y=0,x=2sin-2,2,它表示在x轴上-2,2的一段线段. (2)当 (kZ), 是双曲线. 当=k(kZ)时，x=0，它表示y轴. 当=k+ （kZ）时，y=0,x=( )，它表示x 轴上以（-2，0）和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线.,【评析】参数方程化普通方程要注意参数的范围.,对应演练,写出圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程.,x=-1+5cost y=2+5sint,圆的参数方程为,(0t2).,考点三 直线和圆锥曲线的参数方程,经过点M(2,1)作椭圆x2+4y2=16的弦AB,使得|AM|: |MB|=1:2,求弦AB所在的直线方程.,x=2+tcos y=1+tsin, 代入x2+4y2=16,整理得 (3sin2+1)t2+4(cos+2sin)t-8=0. 由韦达定理得t1+t2= , t1t2= .,【解析】设弦AB所在的直线方程为,由已知|AM|:|MB|=1:2, 即|t1|:|t2|=1:2. M在已知曲线外,M外分弦AB. t1:t2=- , t2=-2t1,t1+t2=-t1,t1t2=-2 =-2(t1+t2)2, = 整理得12tan2+16tan+3=0. 0,),tan= 弦AB所在直线方程为y-1= (x-2).,对应演练,（广东省华南师范附属中学2011届高三综合测试） 已知点P(3,2)平分抛物线y2=4x的一条弦,求弦AB的长.,x=3+tcos y=2+tsin 代入方程y2=4x,整理得t2sin2+4(sin-cos)t-8=0. 点P(3,2)是弦AB的中点,由参数t的几何意义可知,方程的两个实根t1,t2满足关系t1+t2=0, 即sin-cos=0.0,= . |AB|=|t1-t2|=,设弦AB所在直线参数方程为,(t为参数),1.极坐标(,)与(,2k+)(kZ)表示同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示. 2.极坐标与直角坐标互化公式:x=cos,y=sin成立的条件是直角坐标的原点为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 3.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.,高考专家助教,