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不等式选讲(理),第 三 节,解法1(分类讨论思想):S1令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根 S2把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间 S3在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集 S4这些解集的并集就是原不等式的解集,解法2(函数与方程思想):构造函数f(x)|xa|xb|c,写出f(x)的分段解析式作出图象,找出使f(x)0(或f(x)0)的x的取值范围即可 解法3(数形结合思想):利用绝对值的几何意义求解,|xa|xb|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和关键找出到A、B两点距离之和为c的点,“”取中间,“”取两边 注意这里c|ab|,若c|ab|,则|xa|xb|c的解集为,|xa|xb|c解集为R.,(3)分析法:从要证明结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等),从而得出要证明的命题成立的方法,它是执果索因的方法 分析法与综合法常常结合起来运用,看由已知条件能产生什么结果,待证命题需要什么条件,两边凑一凑找出证明途径 常常是分析找思路,综合写过程,(4)反证法:证明不等式时,首先假设要证明的命题不成立,把它作为条件和其它条件结合在一起,利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理,逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质,或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设不正确,从而肯定原命题成立的方法称为反证法 (5)放缩法:证明不等式时,根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明目的,这种方法称为放缩法,2二维形式的柯西不等式: (1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2. 上式等号成立adbc. (2)向量形式:设、为平面上的两个向量,则 |. 当且仅当是零向量或存在实数k,使k时,等号成立,|axb|c型不等式解法,解析:原不等式可化为a1xa1, 又知其解集为(1,3),所以通过对比可得a2. 答案:2,不等式1|x1|2的解集是() Ax|0x1 Bx|0x1或3x2 Cx|3x1 DR 解析:由1|x1|2得,1x12或2x11,0x1或3x2,故选B. 答案:B,例2(2011宝鸡质检)不等式|x1|x2|4的解集为_ 分析:用分段讨论、构造函数、数形结合法求解均可,但数形结合最简便,|xa|xb|c型不等式解法,(2011江西文,15)对于xR,不等式|x10|x2|8的解集为_,答案:0,),例3解关于x的不等式 |xlogax|1) 分析:|ab|a|b|,“”当且仅当ab0时成立,若|ab|a|b|,则ab0.,绝对值不等式中等号成立的条件,解析:根据绝对值三角不等式,原不等式可化为 xlogax0,logax1,0x1. 不等式的解集为x|0x1.,例4(2011陕西文,15)若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立,则a的取值范围是_ 分析:欲使af(x)恒成立,应有af(x)的最小值,集合与集合之间的关系,解析:令y|x1|x2|,由绝对值不等式|a|b|ab|a|b|知y|x1|x2|x1|2x|x12x|3. 所以a3. 答案:(,3,(2011陕西长安五校一模)如果存在实数x使不等式|x1|x2|f(x)的最小值,答案:k3,例5已知x、yR,求证:sinxsiny1sinxsiny. 分析:将sinx、siny看作一个整体,则不等式变成了在|a|1,|b|1时,ab1ab的形式,可用作差比较法证明,比较法,证明:sinxsiny1sinxsiny sinx(1siny)(1siny)(1siny)(sinx1), 1sinx1,1siny1, 1siny0,sinx10. (1siny)(sinx1)0,即sinxsiny1sinxsiny.,(2011福建理,21)设不等式|2x1|1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a,bM,试比较ab1与ab的大小,解析:(1)由|2x1|0, 故ab1ab.,综合法,分析法,柯西不等式的应用,3本部分内容是新增选学、各省市自主选考的内容,对该不等式的一般形式要求很低,只要了解即可考虑高考的导向作用,新一轮高考命题可能要有这部分的内容,答案(,1)(3,),2(2011宝鸡统考)不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立,则实数a的取值范围是_ 答案(,2) 解析由绝对值的几何意义知:|x4|x5|9,则log3(|x4|x5|)2,所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立,则需a2.,3(2011忻州市高三联考) (1)解关于x的不等式x|x1|3; (2)若关于x的不等式x|x1|a有解,求实数a的取值范围,
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