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,第一章集合与常用逻辑用语,第一节集合,一、元素与集合 1集合中元素的特征: 、 、 2元素与集合的关系 元素与集合之间的关系有 和 两种,表示符号为 和 .,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,3常用数集及表示 4.集合的表示法: 、 、 ,N,N*或N,Z,Q,R,列举法,描述法,Venn图,1集合Ayx21,Bx|yx21,Cy|yx21,D(x,y)|yx21相同吗? 提示:集合A中只有一个元素yx21,集合B、C为数集,且BR,Cy|y1,而集合D为点集,故四个集合不相同,二、集合间的基本关系,非空集合,AB,AB,BA,A,2集合是空集吗?它与0、有什么区别? 提示:集合不是空集空集是不含任何元素的集合,而集合中有一个元素.若把看作一个元素则有,而0表示集合中的元素为0.,子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n1.,三、集合的基本运算,AB,AB,UA,x|xA, 或xB,x|xA, 且xB,x|xU,且xA,A,A,BA,BA,A,BA,AB,U,A,(UA)(UB),(UA)(UB),1若集合A参加比赛的运动员,集合B参加比赛的中国运动员,集合C参加比赛的外国运动员,则下列关系正确的是() AABBBC CABCDBCA 解析:因为运动员只分为中国的和外国的,故BCA. 答案:D,2设集合A4,5,7,9,B3,4,7,8,9,全集UAB,则集合U(AB)的真子集共有() A3个B6个 C7个D8个 解析:全集UAB3,4,5,7,8,9,AB4,7,9,故U(AB)3,5,8,其真子集个数为2317. 答案:C,3已知全集UR,则正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是(),4设集合A5,log2(a3),集合Ba,b若AB2,则AB_. 解析:AB2,log2(a3)2.a1, b2,A5,2,B1,2 AB1,2,5 答案:1,2,5,5已知集合Ax|x1,Bx|xa,且ABR,则实数a的取值范围是_ 解析:Ax|x1,Bx|xa, 且ABR,如图,故当 a1时, 命题成立 答案:a1,【考向探寻】 1集合、元素以及元素与集合间的关系 2根据集合中元素的特性,求参数的取值或范围 3规范、恰当地表示集合,【典例剖析】 (1)下列说法中正确的是 0与0表示同一个集合; 集合M1,2与N(1,2)表示同一个集合; 方程(x1)2(x2)0的所有解的集合可表示为1,1,2; 集合x|4x5可以用列举法表示 A只有和B只有和 C只有D以上都不对,(2)(2012江西高考)若集合A1,1,B0,2,则集合z|zxy,xA,yB中的元素的个数为 A5B4 C3D2 (3)已知数集2x,x2x中,实数x的取值范围是_,解析:(1)中0为元素,故错误;M为数集,N为点集,故错误;中不满足互异性;中集合为无限集,不能用列举法表示 答案:D,(2)由已知得,z|zxy,xA,yB1,1,3,所以集合z|zxy,xA,yB中的元素的个数为3. 答案:C (3)由x2x2x,得x23x0, 解得x0且x3. 实数x的取值范围为x|x3 答案:x|x3,(1)要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点集,是函数的定义域,还是函数的值域等 (2)把握集合中元素的特性,要特别注意集合中元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确,答案:C,2如果集合Ax|ax22x10中只有一个元素,则a的值是() A0B0或1 C1D不能确定,【考向探寻】 1根据集合间的关系(相等、子集、真子集等),确定参数的值(或范围) 2对给定的集合,确定它们间的关系 3对空集的考查及分类讨论,(1)解不等式得集合A,借助数轴判断集合A、B的关系 (2)先求出集合P,再根据集合与集合及元素与集合的关系求a的值 分B和B两种情况,并结合数轴确定m的取值,当B,满足BA; 此时,m12m1,解得m2.8分 当B时,由BA,(如图)得,【互动探究】 在本例2中,若将结论改为“是否存在实数m,使AB成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由”则如何求解?,判断集合与集合的关系,基本方法是转化为判断元素与集合的关系对于用描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素及它的属性,可将元素列举出来直观发现或通过元素特征,求同存异,定性分析,(1)在AB,ABB,ABA,AB中容易忽视集合A的情形,预防出现错误的方法是要注意分类讨论 (2)利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时,要注意端点是实心还是空心.,【考向探寻】 1求给定集合的交、并、补运算的结果 2给定集合的运算结果,确定参数的值或范围 3对Venn图的考查,【典例剖析】 (1)(2012山东高考)已知全集U0,1,2,3,4,集合A1,2,3,B2,4,则(UA)B为 A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4D0,2,3,4 (2)已知集合Ax|1x3,Bx|1log2x2,则AB等于 Ax|0x3Bx|2x3 Cx|1x3Dx|1x4,对于集合的交、并、补运算,可先对集合适当地化简,再结合数轴或Venn图进行运算 解析:(1)(UA)B0,42,40,2,4,故选C. 答案:C (2)由题知Bx|1log2x2x|2x4,Ax|1x3,则ABx|2x3,故选B. 答案:B,(3)由1x0得x1,即Px|x1;Qy|y0,因此结合题意得,题中的阴影部分表示的集合是PRQx|1x0,xR,故选B. 答案:B,求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,并结合Venn图或数轴进行直观求解,【活学活用】 3(1)设集合P3,log2a,Qa,b,若PQ0,则PQ等于() A3,0B3,0,1 C3,0,2D3,0,1,2 (2)集合Ay|y2x,xR,B1,0,1,则下列结论正确的是() AAB(0,)B(RA)B(,0 C(RA)B1,0D(RA)B1,解析:(1)由题意知b0,a1,故P0,3,Q0,1,从而PQ0,1,3 答案:B,(2)Ay|y0,故RAy|y0,从而A、B、D不正确,故选C. 答案:C,(2013长春模拟)给定集合A,若对于任意a,bA,有abA,且abA,则称集合A为闭集合,给出如下五个结论: 集合A4,2,0,2,4为闭集合; 正整数集是闭集合; 集合An|n3k,kZ是闭集合;,若集合A1,A2为闭集合,则A1A2为闭集合; 若集合A1,A2为闭集合,且A1R,A2R,则存在cR,使得c(A1A2) 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号),解析:中显然448A,故中的集合不是闭集合,结论不正确;231N*,故结论不正确;任何两个能被3整除的数的和与差均能被3整除,结论正确;偶数集合A1是闭集合,能被3整除的数的集合A2也是闭集合,但其并集就不是闭集合,如231A1A2,结论不正确;中取A1为有理数集,A2为无理数及0构成的集合,可知A1,A2为闭集合,且A1R,A2R,此时A1A2R,找不到cR,使得c(A1A2),结论不正确 答案:,解决集合中的新概念、新运算问题时要求具有一定的阅读能力,理解透题意,在此基础上对所给的结论一一验证,将所需结论选出来,
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