抛物线的几何意义,新课标人教版课件系列,高中数学 选修2-1,抛物线的几何意义,2.4.2抛物线的几何意义,抛物线的几何意义,教学目 标,1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用,抛物线的几何意义,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,抛物线的几何意义,(4)离心率 (5)焦半径 (6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,抛物线的几何意义,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,抛物线的几何意义,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,抛物线的几何意义,例题,例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程,例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,y2 = 4x,焦点弦的长度,抛物线的几何意义,练习:1.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为,y2 = 8x,2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.,抛物线的几何意义,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,抛物线的几何意义,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,练习:P68 T3,抛物线的几何意义,抛物线的几何意义,抛物线的几何意义,抛物线的几何意义,等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积为 A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2,抛物线的几何意义,1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线 上，其中一个顶点为坐标 原点，则这个三角形的面积为 。,抛物线的几何意义,例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p,抛物线的几何意义,直线l过定点(2p,0),推广2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，且OAOB ，则_,验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OAOB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0).,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。,抛物线的几何意义,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,