2.5.1平面几何的向量方法,教学目标,1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”； 2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.； 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”. 难点：实际问题转化为向量问题,回顾：,平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,猜想： AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线， 所以设,因为 所以,，,故AR=RT=TC,练习、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90,思考：能否用向量 坐标形式证明？,变式训练：,二、交点问题,规律总结:重心的计算,例3,C,A,B,o,x,y,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,小结：,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,作业：,课本P113 1,2,