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第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 第1课时数列的概念与简单表示法,1. “一尺之棰,日取其半,万世不竭.”的含义是什么?,1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 2.了解数列是一种特殊的函数,了解数列与函数的关系. 3.能根据数列的前几项,写出它的一个通项公式.,看书要点: 1、数列定义的关键词是什么? 2、数列与函数有什么关系? 3、数列的分类是什么?,(2)三角形数:1,3,6,10,,探究点1 数列的概念,(5)无穷多个1排列成的一列数:1,1,1,1,,(3)正方形数:1,4,9,16,,(4)1,2,3,4,的倒数排列成的一列数,提示:1. 都是一列数;2. 都有一定的顺序,思考:观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:数列定义中的关键词是什么?若打乱顺序从新排列是否还是数列?这个数列和原来的数列相同吗? 问题2:数列中an和an是否相同?,【探究总结】对数列概念的三点说明 (1)数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an,而项数是指这个数在数列中的位置序号. (2)同一个数在数列中可以重复出现. (3)两个数列相同,需要各项相同且排列顺序相同.,3. 数列的一般记法:,思考:数列an是集合吗? an与an有何区别?,集合中的元素具有无序性 、互异性,而数列不具备这些特征,数列an不是集合,它是数列的一个整体符号.an表示数列a1, a2, a3, a4, an,,而an表示数列的第n项.,提示:,(2)数列中的数可以重复吗?,(3)数列与集合有什么区别?,可以,数列讲究:有序性、可重复性、确定性.,集合讲究:无序性、互异性、确定性;,提示:,【拓展延伸】数列与数集的区别与联系 (1)区别:数列主要研究项与项数之间的关系,数集主要研究集合中元素公共的性质. 数集中元素有三个性质:确定性、无序性和互异性;数列中的项也有三个性质:确定性、可重复性和有序性. (2)联系:数列中的项与数集中的元素都是数,都体现对数之间关系的研究.,思考:数列是数集吗?,1.数列的概念及一般形式 (1)相关概念 数列:按照_排列的一列数称为数列. 项:数列中的_叫做这个数列的项,排在_ 的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项). (2)一般形式 数列的一般形式可以写成_,简记为_.,一定顺序,每一个数,第一位,a1,a2,a3,an,an,4. 数列的分类:,(1)按项数分:有穷数列与无穷数列;,(2)按项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.,有穷数列,递增数列,无穷数列,递减数列,有穷数列,递增数列,无穷数列,无穷数列,摆动数列,常数列,观察下列几组数列,请指出以下各数列各属于哪一种类型? 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列, 1,2,3,n 1,2,3,n, 2,2,2, 1, , , , 6,-6,6,-6,,提示:是递增数列,是常数列,是递减数列,是摆动数列.,2.数列的分类,有限,无限,大于,小于,相等,大于,(1)2,4, ,16,32, ,128 (2) ,4,9,16,25, ,49,观察下面数列的特点,用适当的数填空:,8,64,1,36,【即时练习】,探究2:数列的通项公式 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题3:在上面的数列中,你能表示项an与项的序号n之间的关系吗? 问题4:任何数列都有通项公式吗?,(1)你能说出256是否是下面数列中的项吗?是的话,是这个数列的第几项?,(2)同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你能从中得到什么启示?你能否写出它的第n项?,项:,序号:,探究点2 数列中的项与序号之间的关系,是第9项,256是数列中的一项,,1 2 3 4 , 9,(3) 你能把上述数列按照(n, an)的形式画在下面的坐标系中吗?,2,4,8,16,32,64,n,an,图象是一些离散的点,【总结提升】对数列的通项公式的四点说明 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式,即an=f(n). (2)已知数列的通项公式,依次用1,2,3去替代公式中的n,就可以求出这个数列的各项;同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项,是第几项.,(3)同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1,0.1,0.01,的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示. (4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列:-1,1,-1,1,-1,1,通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=,3.数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用_ 来表示,那么这个_叫做这个数列的通项公式. 4.数列的表示法 数列的表示法有三种,分别是_法、_法、_法.,序号n,一个式子,公式,列表,图象,解析,1.已知数列1, ,则 是它的() A.第22项B.第23项 C.第24项D.第28项 【解析】选B.因为 ,令2n-1=45,得n=23, 故 是它的第23项.,2.数列的通项公式为an= 则a2a3等于() A.70B.28C.20D.8 【解析】选C.因为a2=22-2=2,a3=33+1=10, 所以a2a3=20.,3.数列1, , , ,的通项公式是. 【解析】数列的通项公式是an= . 答案:an=,本节课学习的主要内容有:,1.数列的有关概念;,2.数列的通项公式;,3.数列的实质;,4.本节课的能力要求是:,(1) 会由通项公式求数列的任一项;,(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.,5.数列的分类,数 列 的 分 类,从单调性 的角度,从项数 的角度,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,有穷数列,无穷数列,从第2项起项与项的大小关系不确定,项数有限,项数无限,4.数列在平面直角坐标系中的图象是. 【解析】数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点. 答案:一群孤立的点,5.数列an的通项公式是an=n(n+1),则这个数列的第6项是. 【解析】这个数列的第6项是a6=6(6+1)=42. 答案:42,探究1:这五个数列,按项的个数来分,可以把数列分为几类? 提示:从项数的多少可以把数列分为两类:有穷数列如和无穷数列如. 探究2:按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列,请指出以上各数列各属于哪一种类型? 提示:是递增数列,是常数列,是递减数列,是摆动数列.,【探究总结】数列分类的关注点 (1)注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别,一个数列可以是递增数列且是无穷数列. (2)按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性.,三、数列的通项公式及其与函数的关系 探究1:观察如图的对应关系,思考an和n之间是否构成一个映射关系,是否构成一个函数关系?,提示:根据映射和函数的概念,an和n之间构成一个映射,也构成一个函数关系,并且构成了从N*到f(n)|nN*的特殊映射和函数.,探究2:根据所给的几个数列的通项公式,探究下列问题: an=n,an=(-1)n,an= (1)是否所有的数列都有通项公式,并且一个数列只有一个通项公式? 提示:并不是所有的数列都有通项公式,一个数列的通项公式形式上不一定是唯一的,如和表示的是同一个数列.,(2)通项公式an=f(n)的作用是什么? 提示:通项公式an=f(n)中n代表项数,an代表项,因此,通过数列的通项公式能够知道数列中的指定项,同时也知道任意一项在该数列中的准确位置.,【探究总结】1.数列的函数性质的关注点 (1)数列的定义域为N*或者它的有限子集1,2,3,n. (2)数列的值域是一些孤立的实数组成的集合. (3)数列的对应关系一般是其通项公式.,2.数列与函数的关系 (1)数列作为特殊的函数,它具有函数的通性,定义域、值域、对应关系. (2)数列是特殊的函数,其定义域是N*或者它的有限子集1,2,3,n,故数列对应的图象是一列孤立的点. (3)数列的单调性和函数的单调性一致,可以用函数的单调性来研究数列的单调性.,类型一数列的概念及其分类 1.分别写出下列数列: (1)不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列为. (2)-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂构成的数列为.,2.下列各组元素能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列?并说明理由. (1)-3,-1,1,x,5,7,y,11. (2)无理数. (3)正有理数.,【解题指南】1.按照要求的次序写出各个数即可. 2.根据数列的定义判断每组元素能否构成数列.然后再根据数列的项数的个数来判断是否是有穷数列.,【自主解答】1.(1)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. (2)-2,22,-23,24,. 答案:(1)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (2)-2,22,-23,24,,2.(1)当x,y代表数时为数列,此时是有穷数列;当x,y中有 一个不是数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数, 按一定的顺序排列所组成的. (2)不是数列,因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列 起来. (3)是数列,且是无穷数列.如我们可将有理数按下面顺序排列 起来:,【规律总结】处理数列概念问题的注意点 (1)注意数列中的顺序性,不同的顺序的数排成一列,构成不同的数列,故书写数列时注意数的顺序. (2)数列的分类是依据不同的标准,同一个数列可能既是无穷数列又是递增数列.,【变式训练】写出下列数列: (1)全体自然数按从小到大排成一列. (2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列. (3)精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排成一列.,【解析】(1)0,1,2,3,. (2)1, (3)3,3.1,3.14,3.141,.,类型二数列与函数问题 1.已知数列an的通项公式an=2n- ,则此数列为() A.递增数列B.递减数列 C.摆动数列D.常数列 2.已知函数f(x)= 设an=f(n)(nN*). (1)求证:an1. (2)an是递增数列还是递减数列?为什么?,【解题指南】1.根据an+1-an的值判断. 2.(1)根据an=f(n)(nN*)证明. (2)利用an+1-an与0的大小判断.,【自主解答】1.选A.由an=2n- ,可得an+1-an=2,故此数列 为递增数列. 2.(1)因为an=f(n)= 又nN*, 所以 0,即- 0,即an+1an,所以an是递增数列.,【延伸探究】题2条件不变,写出数列an的前4项. 【解析】由 得,【规律总结】函数的性质在数列中的应用 (1)数列是特殊的函数,数列的项数和项类似于函数的定义域和值域中的元素,通项公式类似于函数解析式. (2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质,如单调性,但要注意数列中定义域为从1开始的无穷多正整数集或其一部分组成的集合.,【拓展延伸】函数法研究数列的单调性 (1)定义法,先设出数列对应的函数,然后可以利用证明函数 单调性的定义法判断数列的单调性. (2)作差法,对an+1-an进行符号判断,若恒大于零,则是递增 数列,恒小于零是递减数列. (3)作商法,即判断 与1的大小关系,类似于研究函数的 单调性问题.,类型三数列的通项公式 1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1,- , ,- 的通项为. (2)2,0,2,0的通项为. (3)1,3,5,7的通项为. (4) 的通项为.,2.根据数列的通项公式,分别写出数列的前5项和第2013项. (1)an=cos . (2)an=3n+2n.,【解题指南】1.(1)正负相间,去掉符号后是正整数的倒数. (2)可借助于正弦值的特点来
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