23等差数列的前n项和,学习目标,1.体会等差数列前n项和公式的推导过程 2掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题 3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外的两个,课堂互动讲练,知能优化训练,2.3等差数列的前n项和,课前自主学案,课前自主学案,1上一节刚学过等差数列的性质，即满足_的数列就是等差数列 2等差数列的通项公式是_，其中d是等差数列的_ 3等差数列有一个性质：对于m，n，q，pN*，若mnpq，则_,an1and(常数)(nN*),ana1(n1)d(nN*),公差,amanapaq.,1等差数列的前n项和公式,思考感悟,2等差数列前n项和的最值 (1)若a10，d0，则数列的前面若干项为_项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最_值； (2)若a10，d0，则数列的前面若干项为_项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最_值 特别地，若a10，d0，则_是Sn的最_值；若a10，d0，则_是Sn的最_值,负数,小,正数,大,S1,小,S1,大,课堂互动讲练,【思路点拨】(1)题目明确给出a12，d3. (2)由Sn可得关于n的方程,变式训练1已知数列an是等差数列， (1)若a25，a621，Sn190，求n； (2)若a2a519，S540，求a10.,利用数列前n项和Sn，求通项公式 第一步：当n1时，anSnSn1； 第二步：检验n1时，a1S1是否适合上式， 若适合，则数列an的通项公式是anSnSn1； 若不适合，则数列an的通项公式是,【解】根据Sna1a2an与Sn1a1a2an1(n2)，可知当n2时， anSnSn1,变式训练2若数列an的前n项和Sn32n，求an.,(2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列an中，公差为d： 若共有2n项，则S2nn(anan1)； S偶S奇nd；S偶S奇an1an；,若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1； S偶S奇an1；S偶S奇n(n1)； (3)“片断和”性质： 等差数列an中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2kSk，S3kS2k，SmkS(m1)k，构成公差为k2d的等差数列,在等差数列an中： (1)若a4a1720，求S20； (2)若S41，S84，求S20. 【思路点拨】(1)利用a1a20a4a17. (2)利用S4，S8S4，S12S8，成等差数列,在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值 【思路点拨】建立Sn关于n的二次函数式，利用二次函数求最小值，也可确定an0，an10时的n值，从而确定最大值,【名师点评】综合上面的解法我们可以得到求数列前n项和的最值问题的解法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an0(或an0)成立的最大n即可这是因为：当an0时，SnSn1，即单调递减,变式训练3数列an的前n项和Sn33nn2. (1)求证：an是等差数列； (2)问an的前多少项和最大,解：(1)证明：当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n. 故an的通项为an342n.,所以an1an342(n1)(342n)2. 故数列an是以32为首项，2为公差的等差数列 (2)令an0，得342n0，所以n17， 故数列an的前17项大于或等于零 又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大,1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法 2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量,3公式anSnSn1并非对所有的nN*都成立，而只对n2的正整数才成立由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示,4求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观,