1,（一）分组后能直接提公因式,因式分解,分 组 分 解 法,前面我们学习了十字相乘法，现在请你用十字相乘法分解下面因式,在这里我们把它的前两项分成一组 并提出公因式 ；,把它的后两项分成一组，并提出 公因式 ,分组后能直接提公因式,我们看下面这个多项式,要把这个多项式分解因式，不能提公因式也不能用公式！,把下列各式分解因式： 1,2,3,4,5、 ax+aybxby,整式乘法,(a+b)(m+n),=a(m+n)+b(m+n),=am+an+bm+bn,am+an+bm+bn,=a(m+n)+b(m+n),=(a+b)(m+n),因式分解,定义： 这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法,注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。,引例,从而得到,这时候由于,与,又有公因式,于是可以继续提出公因式,从而得到：,这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法从上面的说明可以看出，如果把一个多项式的项分组并提出公因式，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项就可以用分组分解法来分解因式,例把,分解因式,分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式,与,后，另一个公因式正好都是,这样就可以继续提公因式,解：,解：,例把,分解因式,解：,解：,练 习,把下列各式分解因式：,在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。,(1)分组；,(2)在各组内提公因式；,(3)在各组之间进行因式分解,(4)直至完全分解,分组规律：,分解步骤：,例：把,分解因式,分析：如果把这个多项式的四项按前两项与后两项分组，无法分解因式,但如果把第一、三两项作为一组，第二、四两项作为另一组，分别提出公因式,与,后，另一个因式正好都是,解：,解：,例：把,分解因式,解：,解：,解：原式,例5 x2-x2y+xy2-x+y-y2,=(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y),=(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y),=(x-y)(x+y-xy-1),=(x-y)(x-xy)+(y-1),=(x-y)x(1-y)-(1-y),=(x-y)(1-y)(x-1),练 习,把下列各式分解因式：,把下列各式分解因式：,本课小结,教学重点：掌握分组分解法的分组规律和步骤。,主要内容： 学习分组分解法的概念，用分组分解法分组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分解。,作业,课前小测： 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y -4a +1分解因式的结果应是 （ ） -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1) -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b 2) x4 1,D,D,因式分解的基本方法2,运用公式法 把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.,(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2,平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积,a - b = (a+b)(a-b),因式分解,平方差公式： (a+b)(a-b) = a - b,整式乘法,将下面的多项式分解因式 1) m - 16 2) 4x - 9y,m - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4),a - b = ( a + b)( a - b ),4x - 9y=(2x)-(3y)=(2x+3y)(2x-3y),例1.把下列各式分解因式 （1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y,9,25,1,16,( 4 ) 9x + 4,解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1),解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn),例2.把下列各式因式分解 ( x + z )- ( y + z ) 4( a + b) - 25(a - c) 4a - 4a (x + y + z) - (x y z ) 5)a - 2,1,2,巩固练习： 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y -4a +1分解因式的结果应是 （ ） -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1) -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b 2) x4 1,D,D,完全平方公式,现在我们把这个公式反过来,很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”,我们把以上两个式子叫做完全平方式,“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.,判别下列各式是不是完全平方式,是,是,是,是,完全平方式的特点：,1、必须是三项式,2、有两个平方的“项”,3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍,下列各式是不是完全平方式,是,是,是,否,是,否,请补上一项，使下列多项式成为完全平方式,我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式 我们称之为：运用完全平方公式分解因式,例题：把下列式子分解因式,4x2+12xy+9y2,请运用完全平方公式把下列各式分解因式：,练习题：,1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2,D,C,3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、 D、 4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4,D,D,5、把 分解因式得 （ ） A、 B、 6、把 分解因式得 （ ） A、 B、,B,A,7、如果100 x2+kxy+y2可以分解为（10 x-y)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、6 C、3 D、3,B,B,9、把 分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、 10、计算 的结果是（ ） A、 1 B、-1 C、 2 D、-2,C,A,思考题: 1、多项式: (x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗? 2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式： X4+4x2+( ),小结：,1、是一个二次三项式,2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍,3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解,完全平方式具有：,因式分解,因式分解的定义与提公因式法,复习回顾,口答：,问题：630可以被哪些整数整除？,解决这个问题，需要对630进行分解质因数,630 = 23257,类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题,新课引入,试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积),回忆前面整式的乘法,上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是逆变形,依照定义，判断下列变形是不是因式分解,（把多项式化成几个整式的积）,创设情景,学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。,a,b,c,m,方法一：S = m ( a + b + c ),方法二：S = ma + mb + mc,m,m,方法一：S = m ( a + b + c ),方法二：S = ma + mb + mc,m ( a + b + c ) = ma + mb + mc,下面两个式子中哪个是因式分解？,在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。,公因式,ma + mb + mc = m ( a + b + c ),ma + mb + mc = m ( a + b + c ),在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。,提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。,8a3b212ab3c 的公因式是什么？,公因式,4,a,b2,一看系数二看字母三看指数,观察方向,例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.,解:8a3b2+12ab3c =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc).,例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.,分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.,解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3).,做一做,按照提公因式法因式分解。,公式法,公式回顾,平方差公式： 完全平方公式： 立方和公式： 立方差公式：,考试不会涉及 选学，不做统一要求，,维度A,复习回顾,还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？,平方差公式：,完全平方公式：,计算：,= (999+1)(9991),此处运用了什么公式?,新课引入,试计算：9992 1,12,= 1000998 = 998000,平方差公式,逆用,因式分解:（1）x2 ;（2）y2 ,4 25,22 52,= (x+2)(x2),= (y+5)(y5),这些计算过程中都逆用了平方差公式 即：,此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。,尝试练习(对下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_,(a+3)(a3),(7+n)(7n),5(s+2t)(s2t),(10 x+3y)(10 x3y),= y2 4x2 = (y+2x)(y2x) = (x2)2 12 = (x2+1) (x21),（1） 4x2 + y2 解：原式 （2） x4 1 解：原式,(x21),= ( 4x2 y2 ) = (2x+y)(2xy),(x+1)(x1),因式分解一定要分解彻底 !,例如：1,（3） 6x3 54xy2 解：原式 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) （4） (x+p)2 (xq)2 解：原式= (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q),Y,X,Y,X,Y,X,例如：2,做一做,利用平方差公式因式分解。,公式法,利用完全平方公式进行因式分解,复习回顾,还记得前面学的完全平方公