【考纲下载】,1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义 2了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3掌握向量垂直的条件.,第2讲 平面向量的数量积,1数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab ； (2)几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积 【思考】 向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？,|a|b|cos ,|a|b|cos ,答案：当a，b为非零向量时，ab的符号由夹角的余弦来确定；当00；当90180时，ab0；当a与b至少有一个为零向量或90时，ab0.,2数量积的性质(e是单位向量，a，e) (1)eaae . (2)当a与b同向时，ab ；当a与b反向时，ab ； 特别地，aa 或|a| . (3)ab . (4)cos . (5)|ab|a|b|. 提示：当a0，时，ab0，但ab0时不能得到a0或b0，因为ab 时，也有ab0.,|a|cos ,|a|b|,|a|b|,|a|2,ab0,3数量积的运算律 (1)abba (2)(a)b a(b) (3)(ab)c . 提示：(1)若a、b、c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量，就 没有这样的性质，即若向量a、b、c满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量,(ab),acbc,(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个 与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因 此(ab)c与a(bc)不一定相等,(1) 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .,x2y2,x1x2y1y2, .,(4)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .,x1x2y1y20,4数量积的坐标运算,1已知|a|2，|b|4，ab4，则a与b的夹角为() A30 B60 C150 D120 解析： 又0，180，120. 答案：D,2若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量a与b的夹角等于() A45 B60 C120 D135,又0，180，135. 答案：D,ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2； (ab)(ab)0.其中正确的式子有() A2个 B3个 C4个 D5个,解析：ab0，正确，ab与ab方向不同，错误|ab|2|a|2 |b|22ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|. 正确(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正确当|a|b|时(ab)(a b)0不成立错误，故选B项 答案：B,3两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：,4(2009江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b| ，则向 量a和向量b的数量积ab_. 解析：ab|a|b|cos 2 cos 303. 答案：3,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：,1a2aa|a|2或|a|,思维点拨：由|ab| |ab|平方后寻找ab. 解：由|ab| |ab|得，|ab|23|ab|2， 即(ab)23(ab)2， a22abb23(a22abb2)， 8ab2a22b22|a|22|b|24， 即ab ，,【例1】已知a、b满足|ab| |ab|，|a|b|1，求|3a2b|.,由于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为满足 0180，所以用,【例2】已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3， 求向量abc与向量a的夹角 思维点拨：先求(abc)a，再求|abc|. 解：由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，,设向量abc与向量a的夹角为， 则 即150，故向量abc与向量a的夹角为150.,(1)两个向量平行的充要条件： ab|ab|a|b|ab|a|b|或ab|a|b|. ab且a0存在实数，使ba. (2)两个非零向量垂直的充要条件两非零向量垂直，则它们的数量积等于0.,【例3】已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量xa(t21)b，yka b，问是否存在k，t使xy？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 思维点拨：先求x、y的坐标，再利用xy列方程,解：xa(t21)b(2t21，t23)，,假设存在正实数k，t使xy，则,整理得tk(t21)10，则满足上述等式的正实数k，t不存在，所以不 存在k，t使xy.,拓展3：本例中的条件不变，若xy，求k的最小值 解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， 又xy，,t为正实数，k 2，当且仅当t1时，k2， k的最小值为2.,用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一层内容；根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二层内容利用这个分层求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题化为两个基本问题来解决,【例4】已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0) (1)求证：ab与ab互相垂直； (2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数),证明：(1)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2 (cos2sin2)(cos2sin2)0， ab与ab互相垂直,(2)解：kab(kcos cos ，ksin sin )， akb(cos kcos ，sin ksin )，,2kcos()2kcos() 又k0，cos()0.而0， .,变式4：(2010广东惠州调研)已知向量a(sin ，cos )，b( ，1)， 其中 .(1)若ab，求sin 和cos 的值； (2)若f()(ab)2，求f()的值域,即函数f()的值域为(7,9.,【方法规律】,1数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代 2要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律 (、s、tR) 3求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，求模的运算转化为向量的数量积的运算 4可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用 5利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算.,(12分)设向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围,【阅卷实录】,【教师点评】,对于两个非零向量a，b，若a与b的夹角为钝角，则ab0，反之， 则不一定成立 这样在上述t的范围中应除去夹角为的情形,【规范解答】,接阅卷实录解，设2te17e2(e1te2)(0)，,其中0,向量2te17e2与向量e1te2的夹角为. 实数t的取值范围为：,【状元笔记】,解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键， 如本题中的的情况，再如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角等于零的情况.,