4 实数的完备性：,Cauchy收敛定理,一、柯西基本列,定义5.1,或叙述为,例1.,证明：,例2.,证明：,所以不是基本列,二、列紧性定理,定理5.1,任意有界数列中必可造出收敛子列.,证明：,（二分法：）,由闭区间套定理和夹逼定理：,三、柯西收敛准则,定理5.2：,证明：,由例1：,由例2：,注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法,例3：若数列满足下面情况，判断是否收敛,解：,(1)不一定，例如例2中,(2)结论成立，证明如下,定义6.1：,（1）,（2）,设是非空有下界集合，,四、确界的定义,定义6.2：,（1）,（2）,设是非空有上界集合，,五、确界原理,定理1:,非空有上界的数集必有上确界;,非空有下界的数集必有下确界.,证明：,此区间套特点：,由区间套定理，,.,.,上界,证明：,例4.,2020/9/13,20,六、覆盖,2020/9/13,21,定理1.7.1,则必可从中选出有限个开区间来覆盖,证明：,反证法,2020/9/13,22,2020/9/13,23,矛盾！,2020/9/13,24,单调有 界定理,确 界 定 理,闭区间 套定理,有限覆 盖定理,列紧性 定 理,Cauchy 收敛定理,七、实数系统六定理等价性,八、小结,2、列紧性定理,3、柯西基本定理,1、柯西基本列,4、确界原理,5、有限覆盖定理,6、实数系定理等价性,习题1.5,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,习题1.8,2, 3,