,一、斯托克斯公式,二、简单的应用,第七节 斯托克斯公式 环流量和旋度,三、物理意义,四、小结,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,另一种形式,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,二、简单的应用,解,按斯托克斯公式, 有,解,则,即,空间曲线积分与路径无关的条件,斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关的条件,问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？,注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零,用定积分表示为,三、物理意义-环流量与旋度,1. 环流量的定义:,例如,利用stokes公式, 有,2. 旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,解,由力学知道点 的线速度为,观察旋度,由此可看出旋度与旋转角速度的关系.,向量微分算子,运用向量微分算子,则,定义,则,高斯公式可写成,斯托克斯公式可写成,四、小结,斯托克斯公式的物理意义,斯托克斯公式成立的条件,斯托克斯公式,练 习 题,练习题答案,