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Born to win2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)(1) 已知当时,与是等价无穷小,则( )(A) (B) (C) (D) (2) 已知在处可导,且,则=( )(A) (B) (C) (D) 0(3) 函数的驻点个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(4) 微分方程的特解形式为( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设函数均有二阶连续导数,满足且,则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设,则的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D) (7) 设为3阶矩阵,将的第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行与第3行得单位矩阵,记,则( ) (A) (B) (C) (D) (8) 设是4阶矩阵,为的伴随矩阵,若是方程组的一个基础解系,则的基础解系可为( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题(914小题,每小题4分,共24分请将答案写在答题纸指定位置上)(9) (10) 微分方程满足条件的解为(11) 曲线的弧长(12) 设函数则(13) 设平面区域由直线圆及轴围成,则二重积分(14) 二次型,则的正惯性指数为 三、解答题(1523小题,共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分10分)已知函数,设试求的取值范围 (16) (本题满分11分)设函数由参数方程确定,求的极值和曲线的凹凸区间及拐点(17) (本题满分9分)设函数,其中函数具有二阶连续偏导数,函数可导且在处取得极值,求 (18) (本题满分10分)设函数具有二阶导数,且曲线与直线相切于原点,记为曲线在点处切线的倾角,若求的表达式(19) (本题满分10分)(I)证明:对任意的正整数n,都有 成立(II)设,证明数列收敛 (20) (本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面,该曲线由与连接而成的(I) 求容器的容积;(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:,重力加速度为,水的密度为)图(21) (本题满分11分)已知函数具有二阶连续偏导数,且,其中,计算二重积分(22) (本题满分11分)设向量组,不能由向量组,线性表示 (I) 求的值;(II) 将由线性表示(23) (本题满分11分)为三阶实对称矩阵,的秩为2,即,且(I) 求的特征值与特征向量;(II) 求矩阵2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(18小题,每小题4分,共32分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因为 所以,故答案选(C) (2)【答案】(B)【解析】 故答案选(B)(3)【答案】(C)【解析】 令,得,故有两个不同的驻点(4)【答案】(C)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,解得特征根所以非齐次方程有特解,非齐次方程有特解,故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解(5)【答案】(A)【解析】由题意有, 所以,即点是可能的极值点又因为,所以,根据题意由为极小值点,可得且,所以有由题意,所以,故选(A)(6)【答案】(B)【解析】因为时, ,又因是单调递增的函数,所以故正确答案为(B)(7)【答案】 (D)【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵,故,即,由于交换的第2行和第3行得单位矩阵,故,即故因此,故选(D) (8)【答案】(D)【解析】由于是方程组的一个基础解系,所以,且,即,且由此可得,即,这说明是的解由于,所以线性无关又由于,所以,因此的基础解系中含有个线性无关的解向量而线性无关,且为的解,所以可作为的基础解系,故选(D)二、填空题(914小题,每小题4分,共24分请将答案写在答题纸指定位置上)(9)【答案】【解析】原式=(10)【答案】【解析】由通解公式得 由于故=0所以(11)【解析】选取为参数,则弧微元所以(12)【答案】【解析】原式 (13)【答案】【解析】原式 (14)【答案】2【解析】方法1:的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数二次型对应矩阵为 ,故因此的正惯性指数为2方法2:的正惯性指数为标准形中正的平方项个数 ,令则,故的正惯性指数为2三、解答题(1523小题,共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分10分)【解析】如果时,显然与已知矛盾,故当时,又因为所以即又因为所以,即,综合得 (16) (本题满分11分)【解析】因为,令得,当时,此时,所以为极小值当时,此时,所以为极大值令得,当时,此时;当时,此时所以曲线的凸区间为,凹区间为,拐点为(17) (本题满分9分)【解析】因为在可导,且为极值,所以,则 (18) (本题满分10分)【解析】由题意可知当时,由导数的几何意义得,即,由题意,即 令,则,即,即当,代入得,所以 ,则又因为,所以(19) (本题满分10分)【解析】()设显然在上满足拉格朗日的条件,所以时,即:,亦即:结论得证(II)设先证数列单调递减,利用(I)的结论可以得到,所以得到,即数列单调递减再证数列有下界,得到数列有下界利用单调递减数列且有下界得到收敛 (20) (本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分+=(II) 所做的功为(21) (本题满分11分)【解析】因为,所以(22) (本题满分11分)【解析】(I)由于不能由线性表示,对进行初等行变换:当时,此时,不能由线性表示,故不能由线性表示(II)对进行初等行变换:,故,(23) (本题满分11分)【解析】(I)由于,设,则,即,而,知的特征值为,对应的特征向量分别为,由于,故,所以由于是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设对应的特征向量为,则 即解此方程组,得,故对应的特征向量为(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:令,则,
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