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排列组合排列组合 一、知识网络一、知识网络 二、高考考点二、高考考点 1、两个计数原理的掌握与应用; 2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两个性 质的掌握; 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题) 三、知识要点三、知识要点 一分类计数原理与分步计算原理一分类计数原理与分步计算原理 1 分类计算原理(加法原理): 完成一件事,有 n 类办法,在第一类办法中有 m1种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,在第 n 类办法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ mn种不同的方法。 2 分步计数原理(乘法原理): 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法,做第 2 步有 m2种不同 的方法, 做第 n 步有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m1 m2 mn种不 同的方法。 3、认知: 上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据, 它们的区别在于, 加 法原理的要害是分类 : 将完成一件事的方法分成若干类,并且各类办法以及各类办法中的各 种方法相互独立,运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事 ; 乘法原理的要害 是分步 : 将完成一件事分为若干步骤进行,各个步骤不可缺少,只有当各个步骤依次完成后 这件事才告完成(在这里,完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤,而不能独立完 成这件事)。 二排列二排列 1 定义 (1) 从 n 个不同元素中取出 m( ) 个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一排列。 (2)从 n 个不同元素中取出 m( )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数,记为 . 2 排列数的公式与性质 (1) 排列数的公式 : =n(n-1) (n-2)(n-m+1) = 特例 : 当 m=n 时, =n!=n(n-1)(n-2)321 规定:0!=1 (2)排列数的性质: () = (排列数上标、下标同时减 1(或加 1)后与原排列 数的联系) () (排列数上标加 1 或下标减 1 后与原排列数的联 系) () (分解或合并的依据) 三组合三组合 1 定义(1)从 n 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合 (2) 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的组合数,用符号 表示。 2 组合数的公式与性质 (1)组合数公式: (乘积表示) (阶乘表示)特例: (2)组合数的主要性质: () (上标变换公式) () (杨辉恒等式) 认知:上述恒等式左边两组合数的下标相同,而上标为相邻自然数;合二为一后的右边 组合数下标等于左边组合数下标加 1,而上标取左边两组合数上标的较大者。 3 比较与鉴别 由排列与组合的定义知,获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排 成一列”两个过程,而获得一个组合只需要“取出元素”,不管怎样的顺序并成一组这一个 步骤。 (1) 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有 关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这 一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 (2) 注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列” 两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系: 四、经典例题四、经典例题 例 1、例 1、某人计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60、70 元的单片软件和盒装 磁盘,要求软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式是( ) A .5 种 B.6 种 C. 7 种 D. 8 种 分析 : 依题意 “软件至少买 3 片, 磁盘至少买 2 盒”, 而购得 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元,所以,只需讨论剩下的 180 元如何使用的问题。 解 : 注意到购买 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元,所以,这里只讨论剩下的 180 元如何 使用,可从购买软件的情形入手分类讨论 : 第一类,再买 3 片软件,不买磁盘,只有 1 种 方法;第二类,再买 2 片软件,不买磁盘,只有 1 种方法; 第三类,再买 1 片软件,再买 1 盒磁盘或不买磁盘,有 2 种方法; 第四类,不买软件,再 买 2 盒磁盘、1 盒磁盘或不买磁盘,有 3 种方法;于是由分类计数原理可知,共有 N=1+1+2+3=7 种不同购买方法,应选 C。 例 2、例 2、已知集合 M=-1,0,1,N=2,3,4,5,映射 ,当 xM 时, 为奇数,则这样的映射 的个数是( )A.20 B.18 C.32 D.24 分析:由映射定义知,当 xM 时, 当 xM 时, 这里的 x 可以是奇数也可以是偶数, 但 必须为奇数, 因此, 对 M 中 x 的对应情况逐一分析,分步考察: 第一步,考察 x=-1 的象,当 x=-1 时, ,此时 可取 N 中任一数值,即 M 中的元素-1 与 N 中的元素有 4 种对应方法; 第二步,考察 x=0 的象,当 x=0 时, 为奇数,故 只有 2 种取法( =3 或 =5),即 M 中的元素 0 与 N 中的元素有 2 种对应方法; 第三步,考察x=1的象,当x=1时, 为奇数,故 可为 奇数也可为偶数, 可取N中任一数值,即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法,于是 由分步计数原理可知,映射 共有 424=32 个。 例 3、例 3、 在中有 4 个编号为 1, 2, 3, 4 的小三角形, 要在每一个小三角形中涂上红、 蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂 法? 解 : 根据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“对角”的两个小三角形可以是相同 颜色,于是考虑以对角的小三角形 1、4 同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中分 步计算。 第一类:1 与 4 同色,则 1 与 4 有 5 种涂法,2 有 4 种涂法,3 有 4 种涂法,故此时 有 N1=544=80 种不同涂法。 第二类 : 1 与 4 不同色,则 1 有 5 种涂法,4 有 4 种涂法,2 有 3 种涂法,3 有 3 种涂法, 故此时有 N2=5433=180 种不同涂法。综上可知,不同的涂法共有 80+180=260 种。 点评 : 欲不重不漏地分类,需要选定一个适当的分类标准,一般地,根据所给问题的具 体情况,或是从某一位置的特定要求入手分类,或是从某一元素的特定要求入手分类,或是 从问题中某一事物符合条件的情形入手分类, 或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等 等。 例 4、例 4、将字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格填一个数,则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 解法一(采用“分步”方法):完成这件事分三个步骤。 第一步:任取一个数字,按规定填入方格,有 3 种不同填法; 第二步:取与填入数字的格子编号相同的数字,按规定填入方格,仍有 3 种不同填法; 第三步:将剩下的两个数字按规定填入两个格子,只有 1 种填法; 于是,由分步计数原理得,共有 N=331=9 种不同填法。 解法二:(采用“列举”方法):从编号为 1 的方格内的填数入手进行分类。 第一类:编号为 1 的方格内填数字 2,共有 3 种不同填法: 2413 2143 2341 第二类:编号 1 的方格内填数字 3,也有 3 种不同填法: 3142 3412 3421 第三类:编号为 1 的方格内填数字 4,仍有 3 种不同填法: 4123 4312 4321 于是由分类计数原理得共有 N=3+3+3=9 种不同填法,应选 B 解法三 (间接法) : 将上述4个数字填入4个方格, 每格填一个数, 共有N1=4321=24 种不同填法, 其中不合条件的是(1)4 个数字与 4 个格子的编号均相同的填法有 1 种 ; (2) 恰有两个数字与格子编号相同的填法有 6 种; (3)恰有 1 个数字与格子编号相同的填法有 8 种;因此,有数字与格子编号相同的填 法共有 N2=1+6+8=15 种 于是可知,符合条件的填法为 24-15=9 种。 点评:解题步骤的设计原则上任意,但不同的设计招致计算的繁简程度不同,一般地, 人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排,以减少问题的头绪或悬念。 当正面考虑头绪较多时,可考虑运用间接法计算:不考虑限制条件的方法种数不符 合条件的方法种数=符合条件的方法种数。 在这里, 直接法中的 “分析” 与间接法主体的 “分类”, 恰恰向人们展示了 “分步” 与 “分 类”相互依存、相互联系的辩证关系。 例 5、例 5、用数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字 4 位数,其中,必含数字 2 和 3,并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个? 解:注意到这里“0”的特殊性,故分两类来讨论。 第一类:不含“0”的符合条件的四位数,首先从 1,4,5 这三个数字中任选两个作排 列有 种 ; 进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,又有 种排法, 于是由分步计数原理可知,不含 0 且符合条件的四位数共有=36 个。 第二类:含有“0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“间 接法” : 首先从 1,4,5 这三个数字中任选一个,而后与 0,2,3 进行全排列,这样的排列 共有 个。 其中,有如下三种情况不合题意,应当排险: (1)0 在首位的,有 个;(2)0 在百位或十位,但 2 与 3 相邻的,有 个 (3)0 在个位的,但 2 与 3 相邻的,有 个 因此,含有 0 的符合条件的四位数共有 =30 个 于是可知,符合条件的四位数共有 36+30=66 个 点评 : 解决元素不相邻的排列问题,一般采用“插空法”,即先将符合已知条件的部分 元素排好,再将有“不相邻”要求的元素插空放入 ; 解决元素相邻的排列问题,一般采用“捆 绑法”,即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起,作为一个大元素与其它元素进行排列,进 而再考虑大元素内部之间的排列问题。 例 6、例 6、某人在打靶时射击 8 枪,命中 4 枪,若命中的 4 枪有且只有 3 枪是连续命中的, 那么该人射击的 8 枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有( ) A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种 分析 : 首先,对未命中的 4 枪进行排列,它们形成 5 个空挡,注意到未命中的 4 枪“地 位平等”,故只有一种排法,其次,将连中的 3 枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面 5 个空格中选 2 个排进去, 有 种排法, 于是由乘法原理知, 不同的报告结果菜有 种 点评 : 这里的情形与前面不同,按照问题的实际情况理解,未命中的 4 枪“地位平等”, 连续命中的 3 枪亦 “地位平等”。 因此, 第一步排法只有一种, 第二步的排法种数也不再乘以 。解决此类“相同元素”的排列问题,切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法,请读 者引起注意。 例 7、例 7、 (1) ; (2)若 ,则 n=; (3) ; (4)若 ,则 n 的取值集合为 ; (5)方程 的解集为 ; 解: (1)注意到 n 满足的条件 原式= ( 2) 运 用 杨 辉 恒 等 式 , 已 知 等 式 所求 n=4。 (3)根据杨辉恒等式 原式= = = = (4)注意到这里 n 满足的条件 n5 且 nN* 在之下, 原不等式 由、得原不等式的解集为5,6,7,11 (5)由 注意到当 y=0 时, 无意 义,原方程组可化为 由此解得
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