函数的单调性与最值 一、知识梳理1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值注意：1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“”联结，也不能用“或”联结2 两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但 f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByC Dyx解析：选A选项A的函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2函数f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,48二、方法归纳1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 D. ylg|x|答案：C2函数f(x)在区间2,3上的最大值是_，最小值是_答案： 三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数的单调增区间是_解析：要使有意义，则，即，而为上的增函数，当时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的单调增区间是(，1答案：(，13 设函数yf(x)在内有定义对于给定的正数k，定义函数 取函数，当k时，函数的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1) D(1，)解析：选C由f(x)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以，故的单调递增区间为(，1)解题通法求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法考点二 函数单调性的判断典例试讨论函数的单调性解法一：由解析式可知，函数的定义域是在(0，)内任取，令，那么因为，所以，.故当时，即函数在上单调递增当时，即函数在上单调递减考虑到函数是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在单调递增，在上单调递减综上，函数f(x)在和上单调递增，在和上单调递减解题通法1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确针对训练判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三解函数不等式3已知函数则不等式f(a24)f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)解析：选B作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1af(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解巩固练习一、选择题1“a1”是“函数f(x)x22ax3在区间1，)上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A 解析：f(x)对称轴xa，当a1时f(x)在1，)上单调递增“a1”为f(x)在1，)上递增的充分不必要条件2已知函数，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是( )A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案：C解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2a2a，解得2a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是00，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0B一定小于0C等于0D正负都有可能答案：A解析：f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.二、填空题6函数y(x3)|x|的递增区间是_7设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是_(填序号)yf(x)2是增函数；y是减函数；yf(x)是减函数；y|f(x)|是增函数答案：0，解析：画图象如图所示：可知递增区间为0，8 设0x1，则函数y的最小值是_ 答案：4解析y，当0x1时，x(1x)