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同学们努力吧,一切皆有可能,反比例函数复习,1.什么叫反比例函数?,形如 的函数称为反比例函数。,(k为常数,k0),其中x是自变量,y是x的函数。,2.反比例函数有哪些等价形式?,y=kx-1,xy=k,一、有关概念:,(k为常数,k0),练习1:,1、下列函数中哪些是反比例函数? ,y = 3x-1,y = 2x2,y = 3x,xy=-2,3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系,其中是反比例函数关系的是( ).,A:,C:,D:,B:,D,2. 若 是反比例函数, 则m,2,m-20,3-m2=1,5、已知y=y1-y2,y1与x成反比例,y2与x-2成正比例,且当x = 1时,y=1;x=3时,y=5求y与x的函数关系式.,4、已知y-1与x+2成反比例,当x=2时,y=9。 请写出y的x函数关系。,双曲线,双曲线两分支分别在 第一、第三象限,在每一个象限内y随x的增大而增大,双曲线两分支分别在 第二、第四象限,在每一个象限内y随x的增大而减小;,二、反比例函数的图象和性质:,比一比,在每一个象限内: 当k0时,y随x的增大而减小; 当k0时,y随x的增大而增大.,y=kx(k0)( 特殊的一次函数),当k0时,y随x的增大而增大; 当k0时,y随x的增大而减小.,另外:在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴,远离x轴。在反比例函数中k的绝对值越大,双曲线越远离两坐标轴。,练习2:,1.函数 的图象位于第 象限, 在每一象限内,y的值随x的增大而 , 当x0时,y 0,这部分图象位于第 象限.,二、四,增大,四,那么下列各点中一定也在此图象上的点是( ),2.若点(-m,n)在反比例函数,A. (m,n) B. (-m,-n) C. (m,-n) D. (-n,-m),的图象上,,C,3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式 为 .,4.如果反比例函数 的图象位于第二、四象限,那么m的范围为 .,由13m0 得3m 1,m,1、在反比例函数 的图象上有两点 (x1,y1)、(x2,y2),若x1x2 0,则y1与y2 的大小关系是 。,变:1)将x1x2 0变为x1 0 x2,则y1与y2 的大小关系是 。 2)将x1x2 0变为x1x2,则y1与y2 的大小关系是 。 3)若图象上有三点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),且y10y2 y3,则x1、x2 、 x3的大小关系是 。,10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象,观察图象写出y1y2时, x 的取值范围,-2,3,y,x,0,X3或-2x0,提示: 利用图像比较大小简单明了。,三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。,x,y,0,1,2,有两条对称轴:直线y=x和 y=-x;对称中心为:原点,1、如图,过原点的一条直线与反比例函数 (k0)的图象分别交于A、B两点,若点A的坐标(a,b), 则点B的坐标为( ) A. (b,a) B. (-a,b) C. (-b,-a) D. (-a,-b),D,练习3:,四、与面积有关的问题:,面积性质(一):,想一想,若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?,B,(3)已知点A是反比例函数 上的点, 过点A作 AP x轴于点p,则AOP的面积为 ( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3,归纳:(1)两个定值 任意一组变量(或图象上任一点的坐标)的乘积是一个定值, 即 xy=k. 图中SPAO = k ,与点A的位置无关。,面积性质(二),1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PDx轴于D.则POD的面积为 .,1,练习4:,2、如图:A、C是函数 的图象上任意两点,,A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.,C,解:由性质(2)可得,提高篇:(1)如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .,(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N,若四边形PMON面积为3,则这个反比例函数的关系式是 _.,提示:S矩形=|xy|= |k| 则 k=s或-s,或,A.S = 1 B.12,C,5、如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点 (1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求AOB的面积,C,D,7、四边形ADBC的面积=_,2,火眼金睛:,(2007武汉市)如图,已知双曲线(x0) 经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,则k_。,2,SAOF = S矩形AOCB,SAOF = S四边形EOBF =1,例:,思索归纳,五、交点问题,1、与坐标轴的交点问题: 无限趋近于x、y轴, 与x、y轴无交点。 2、与正比例函数的交点问题: 可以利用反比例函数的中心对称性。 3、与一次函数的交点问题: 列方程组,求公共解,即交点坐标。,A,y,O,B,x,M,N,综合应用:,已知点A(3,4),B(2,m)在反比例函数 的图象上,经过点A、B的一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C、D。 求反比例函数的解析式;, 求经过点A、B的一次函数的解析式;, 在y轴上找一点H,使AHO为等腰三角形,求点H的坐标;,例题1:右图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速前进的图象,根据图象提供的信息回答下列问题: (1)这条高速公路全长是多少千米? (2)写出时间t与速度v之间的函数关系式; (3)如果2至3h到达,轿车速度在什么范围?,t(h),300千米,100至150(千米/小时),由图象得 当2 t 3时, 100v150,(1),(2),(3),解:,六、实际问题与反比例函数,例题2:如图,为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例. 现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。请根据题中所提供的信息,解答下列问题:,(1)药物燃烧时,求y与x的关系式;,(2)药物燃烧完后,求y与x的关系式;,(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进入教室,那么从消毒开始,至少经过多少min后,学生才能回到教室;,(4)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10 min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?请说明理由。,例题2:如图,为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例.,(1)药物燃烧时,求y与x的关系式;,(2)药物燃烧完后,求y与x的关系式;,解:(1)当0 x8时设函数式为,函数图象经过点(8,6),把(8,6)代入得,当x8时设函数式为,函数图象经过点(8,6),把(8,6)代入得,(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进入教室,那么从消毒开始,至少经过多少min后,学生才能回到教室;,( 0 x8),(x8),解:(3)当y=1.6时有,答:至少经过30min后,学生才能回到教室;,1.6,30,( 0 x8),(x8),(4)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10 min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?请说明理由。,(4)把y=3代入两函数得,持续时间=16-4=12(min)10(min),答:此次消毒有效。,1、已知甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为a升,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是( ),C,练习6:,2、制作一种产品,需先将材料加热,达到60后,再进行操作,据了解,该材料加热时,温度y与时间x(min)成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x(min)成反比例关系,如图所示,已知该材料在操作加工前的温度为15,加热5min后温度达到60 。,(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时y与x的函数关系式;,(2)根据工艺要求,当材料温度低于15 时,必须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?,20min,解:(1)设函数关系式为y=k/(x-0.4),又当x=0.65元时,y=0.8,则有 0.8=k/(0.65-0.4),解得k=0.2. y与x之间的函数关系式为y=0.2/(x-0.4),即 。,3、某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.550.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x0.4)元成反比例又当x0.65元时,y0.8(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本价0.3元,电价调至0.6元,请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?,(2)把x=0.6代入y=0.2/(x-0.4),得y=1.即本年度新增用电量1亿度 则本年度总用电量为(1+1=2)亿度 本年度电力部门的纯收入为:2(0.6-0.3)=0.6亿元。,4、气球充满了一定质量的气体, 当温度不变时,气球内的气压P(kPa)是气球 体积V的反比例函数。当气球体积是0.8m3 时,气球内的气压为120 kPa 。 (1)写出这一函数表达式。 (2)当气体体积为1m3时,气压是多少? (3)当气球内气压大于192 kPa时,气球 将爆炸。为安全起见,气球体积应小于 多少?,下课啦!,
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