资源预览内容
亲,该文档总共4页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
数学建模期末考试A卷 姓名: 专业:学号: 学习中心:$一、判断题(每题3分,共15分)1、 模型具有可转移性。-(对 )2、 一个原型,为了不同的目的可以有多种不同的模型。-(对 )3、 一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。-( 对 )4、 力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。-( 对)5、 数学模型是原型的复制品。 - ( 错 )二、不定项选择题(每题3分,共15分)1、下列说法正确的有 AC 。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。B、模型误差是可以避免的。C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。2、建模能力包括 ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有 AE 。A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法5、一个理想的数学模型需满足 AB 。A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。(10分)答:概括的说,数学模型就是一个迭代的过程,其一般建模步骤用框架图表示如下:四、建模题(每题15分,共60分)1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,4条腿能否同时着地?解:4条腿能同时着地(一) 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。(二)模型建立现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、B、C、D的初始位置在与x轴平行,再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B,C、D平行。当方桌绕中心0旋转时,对角线ab与x轴的夹角记为。容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性,令f() 为A、B离地距离之和,g()为C、D离地距离之和,它们的值由唯一确定。由假设(1),f(), g()均为0的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地,故f() g()=0必成立( )。f(), g()均为0的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时着地,故f() g()=0必成立()。不妨设f()=0, g()0 (若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知f(0), g()均为的连续函数,f(0)=0, g(0) 0且对任意有f() g()=0,求证存在某一0。,使f() g()=0。(三)模型求解证明:当日=时,AB与CD互换位置,故f()0, g()= 0 o作h()= f()-g(),显然,h()也是的连续函数,h()= f()- g() 0,由连续函数的取零值定理,存在,0,使得h()=0,即h()= g()。又由于f() g()=0,故必有f()= g()=0,证毕。2、建立模型说明同样多的面粉,多包几个饺子能多包馅,还是少包几个饺子能多包馅?解:在饺子皮相对与饺子馅比较薄的情况下,忽略饺子皮厚度对饺子体积的影响,每个饺子能包的馅y=f(x)=kx1.5 其中x为每个饺子消耗面粉量,k为常数。所以能包的馅总共有 My/x=Mkx0.5 其中M为总面粉量。显然这个函数在0到正无穷上是增函数,所以结论:饺子包越大相同面粉能包的馅越多,少包几个饺子能多包馅。3、投资生产A产品时,每生产一百吨需资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产一百吨需资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元,现某单位可使用资金1400万元、场地900平方米,问应做怎么样的组合投资,可使所获利润最多。解:设生产A产品X百吨,生产B产品Y百吨,则最大利润为Z,则有模型如下:Z=300X+200Y,由题得X、Y需要满足:200X+300Y1400200X+100Y900画图解得X=3.25;Y=2.5时Z最大,且此时Z=300*3.25+200*2.5=1475得出,生产A产品3.25百吨,生产B产品2.5百吨时获利最大,最大利润为1475万元。4、在某5000个人中有10个人患有一种病,现要通过验血把这10个病人查出来,若采用逐个人化验的方法许化验9999次,(这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数,如果碰巧,可能首先化验的10个人全是病人,10次化验就够了,下面讨论的化验次数均指在最坏情况下的化验次数)。为了减少化验次数,人们采用分组化验的办法,即把几个人的血样混在一起,先化验一次,若化验合格,则这几个人全部正常,若混合血样不合格,说明这几个人中有病人,再对它们重新化验(逐个化验或再分组化验)。试给出一种分组化验的方法使其化验次数尽可能地小,不超过1000次。解:解我们给出如下的方法:从1000人中任取64人,把他们的血样混合化验。一般地,n个人中有k个病人,令s使2sn/k2s+1,则从n个人中任取25个人一组,当n=1000 , k=10时,25=64若这64人混合血样合格(化验是阴性) ,则这64个人正常,可排除,无需再化验,再从剩下未化验的人中任取64个人,混合血样化验。若这64人混合血样不合格(化验呈阳性),说明这64人中有病人。把这64个人,分为两组,每组32人。任取一组的混合血化验,即可确定有病人的一组。(即只需化验-次,若化验的这组血样成阴性,则病人在另- -组。若化验的这组血样成阳性,这组有病人,但此时,另-组也可能有病人)。作为最坏的可能情形,我们无法保证另-组的32人中没有病人,故选定有病。人的一组后,把另一组人退回到未化验的人群中去。把有病人的这组32人,再分为两组,每组16人,重复上述过程。即化验- -次,确定有病人的一组,把另一组退回到未化验的人群中。依次下去,直到找到一个病人为止。至此一-共化验了7次。再从未化验的人中任取64人重复上述过程。总之,对每次64人混合血化验成阳性的,通过7次化验可找到1个病人,由于共有10个病人,因此,这样的情形,化验次数不超过7X10=70次。对每次64人混合血化验成阴性的,由于1000=15X64+40,化验次数不超过15次。故总的化验次数不超过70+15=85次。4
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号