大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为和，则该球面的方程为_2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为 3、曲面与平面平行的切平面方程为 4、 5、设二元函数，则_二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。1、旋转曲面是（ ） （A）坐标面上的双曲线绕轴旋转而成； （B）坐标面上的双曲线绕轴旋转而成； （C）坐标面上的椭圆绕轴旋转而成； （D）坐标面上的椭圆绕轴旋转而成2、微分方程的一个特解应具有形式（ ） 其中都是待定常数. (A).; (B).; (C).; (D). 3、已知直线与平面,则 （ ） (A).在内; (B).与不相交; (C).与正交; (D).与斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量与平行的充要条件是存在唯一的实数，使得； (B) 二元函数的两个二阶偏导数,在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微的充分条件； (D) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设且（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则（ ） (A); (B); (C); (D).三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。(1)（6分）(2)（7分）2、（本题8分）设，求全导数。3、（本题8分）求函数的极值。四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为 （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线，求过且平行于的平面方程2、（本题11分）设函数 在球面上求一点，使函数取到最大值六、证明题（本题共12分）1、设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数试证明:第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、 2、3、4、05、；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得： 上式两端积分得 即： 其中为任意常数（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为 于是，该齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得 于是，求得题没方程的一个特解 从而，所求题设方程的通解为2、解：， ， 依复合函数求导法则，全导数为 3、解：解方程组，得驻点。由于，在点处，所以函数在点处取得极小值，极小值为。四、应用题（本题8分）1、解：即求成本函数在条件下的最小值 构造辅助函数 解方程组 解得 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为：（万）五、综合题（本大题共21分）1、解：直线与的方向向量分别为， ，作 ，取直线上的一点，则过点且以为法向量的平面 ，就是过且平行于的平面方程2、解：设球面上点为令 ，由前三个式子得，代入最后式子得由题意得在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点就是最大值点，最大值为六、证明题（本题共12分）1、证明： 所以，