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第七章静电场中的导体和电介质 7-1 如图所示,在一不带电的金属球旁有一点电荷q ,金属球半径为 R,已 知q与金属球心间距离为r。试求: (1) 金属球上感应电荷在球心处产生的电场 强度 E 及此时球心处的电势V ; (2)若 将金属球接地,球上的净电荷为多少 题 7-1 图 解: (1)由于导体内部的电场强度为零,金属球上感应的电荷在球心处产生的电 场强度 E 与点电荷q在球心处产生的电场强度E 大小相等,方向相反。 2 0 4r q EEE 的方向由 O指向q 点电荷q在球心处的电势为 r q Vq 0 4 金属球表面感应电荷在球心的电势为 R V,由于球表面感应电荷量总和为零, ss R dq RR dq V0 4 1 4 00 故球心电势为 q V和 R V的代数和 r q VVV Rq 0 4 (2)若将金属球接地,金属球是一个等势体,球心的电势0V。设球上净电荷 为q。球面上的电荷在球心处的电势为 ss R R q dq RR dq V 000 44 1 4 点电荷q在球心的电势为 r q Vq 0 4 由电势叠加原理0 qR VVV qR VV r q R q 00 44 q r R q 7-2 如图所示,把一块原来不带电的金属板 B 移近一块已带有正电荷Q的金属板 A, 平行放置。 设两板面积都是 S,板间距是 d ,忽略边缘效应。 求: (1) B 板不接地时,两板间的电势差; (2) B 板接地时,两板间电势差。 A B Q S 1234 d 题 7-2 图 解: (1)如图,设 A、 B两金属板各表面的面电荷密度分别为 1、2、3、4。 由静电平衡条件可知 0 2222 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 0 4 0 3 0 2 0 1 解得 32 41 又 43 0QSS 21 故 124 2 Q S 3 2 Q S 两板间为匀强电场,电场强度 3124 00000 22222 Q E S 两板间的电势差 S Qd EdU 0 2 (2)若 B板接地,则有 S Q 32 41 0 两板间的电场强度 32 000 22 Q E S 两板间的电势差 S Qd EdU 0 7-3 BA、为靠得很近的两块平行的大金属平板,板的面积为S,板间距离为 d ,使BA、板带电分别为 A q、 B q,且 AB qq。求: (1) A板内侧的带电量; (2)两板间的电势差。 解: (1)如图,设 A、 B 两板各表面的 电荷面密度分别为 1、2、3、4。 由题意 B A qSS qSS 43 21 又由静电平衡条件(参考题7-2)得 14 23 题 7-3 图 由、解得 14 23 2 2 AB AB qq S qq S 故板内侧的带电量 2 22 BA qq Sq (2)两板间为匀强电场,电场强度 3124 00000 22222 AB qq E S 两板间电势差 0 2 AB qq UEdd S 7-4如图所示,半径为 1 R的导体球带有电荷q,球外有一个内半径为 2 R的同 心导体球壳,壳上有电荷Q。 (1)求球与壳的电势差 12 U; (2)用导线把球和壳连接 在一起后,其电势为多少 解: (1)导体球与球壳之间的电场强度为 2 0 4r q E 球与壳的电势差 2 1 2 1 2 0 12 4 R R R R r drq EdrU 题 7-4 图 ) 11 ( 4210RR q (2)用导线把球与球壳连接在一起后,导体球和导体球壳的电荷重新分布。静 电平衡时,球与球壳为等势体, 1221 VVV。所有电荷(Qq)均匀分布在球壳外 表面。球壳外电场强度为 2 0 4r qQ E 球与球壳的电势 22 2 002 44 RR Qq drQq VEdr rR 7-5 如图所示,同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构 成。设圆柱体的电势为 1 V,半径为 1 R,圆管的电势为 2 V,内半径为 2 R,求它们之间 离轴线为r处( 12 RrR )的电势。 解:设圆柱体表面沿轴线单位长度 所带电量为,在距轴线为r的任意一点 P 的场强为 r E 0 2 12 RrR 题 7-5 图 P 点与圆柱体的电势差 11 1 001 ln 22 rr P RR drr VVEdr rR 圆管与圆柱体的电势差 2 1 2 1 1 2 00 21 ln 22 R R R R R R r dr EdrVV 由、两式消去,得 P点电势 )ln( )ln( )( 1 2 1 211 R R R r VVVVP 7-6 实验表明: 在靠近地面处有相当强的电场,E 垂直于地面向下, 大小约为 1 100mV。试求: (1)地面的面电荷密度;(2)地面的每平方米所受的库仑力。 解:设地球带电荷 q 。由高斯定理,地球表面电场 2 0 4 e R q E ERq e 2 0 4 电荷 q 均匀分布于地球表面,则地面面电荷密度 210 02 2 0 1085.8 4 4 mCE R ER S q e e 地面每平方米受库仑力NEF 8 1085.8 7-7 如图所示,一平行板电容器两极板间充 满了电容率为的均匀介质,已知极板上的面电荷 密度分别为 0和0。略去边缘效应。求电介质中 的电场强度 E 、极化强度 P 、电位移 D ,介质表面的 题 7-7 图 极化电荷面密度。 解:对于平行板电容器,两板间的电场强度为 00 En 其中 0 n为沿极板法线方向的单位矢量,方向从 0极板指向0极板。两极板电 介质中的电位移为 0 0 DEn 极化强度 00000 0000 (1)PDEnnn 由于极化电荷都在介质的上下两表面,故极化电荷体密度0。两极板间介质 中的电场 E 为板上自由电荷产生的电场 0 E和介质表面束缚电荷产生的电场E 的叠加。 设介质表面极化电荷面密度为。 0 0 0 E 0 E EEE0 0 )( 1 0 0 0 0 0 )1 ( 对于靠近带正电荷极板的介质表面,极化电荷面密度为。靠近带负电荷极板 的介质表面,极化电荷面密度为。 7-8 如图所示,平行板电容器两极板相 距为 d ,接到电压为 U 伏的电源上,在其间 插入厚为x、相对电容率为 r的玻璃平板。 略去边缘效应,求空隙中和玻璃中的电场强 度。 题 7-8 图 解:设电容器极板上电荷面密度为 0,则两极板间空气间隙中的场强为 0 0 0 E 玻璃平板中的场强为 r E 0 00 EE r0 两极板间的电位差xExdEU)( 0 由、两式可得 0 () r r U E dxx () r U E dxx 7-9 在相对电容率为 1r 、半径为 R的均匀电介质球的中心有一点电荷q,介质 球外的空间充满相对电容率为 2r 的均匀电介质。求距q为r( rR)处的场强及电势 (选无穷远处为电势零点) 。 解:介质球中心的点电荷q产生的电场具有球对称性。由高斯定理,介质球内外 的场强分别为 2 10 1 4r q E r ( rR ) 2 20 2 4r q E r ( rR) 选无穷远处为电势零点,距q 为r( rR)处的电势 R rr R r R q Rr q drEdrEV 2010 21 4 ) 11 ( 4 7-10 有一面积为 S、间距为 d 的平行板电容器。 (1) 在板间平行于极板面插入厚度为 3 d ,面积 也为 S的相对电容率为 r的均匀电介质板,计 算其电容; (2)若插入的是同样尺寸的导体板, 求其电容;(3)上下平移介质板或导体板对电 容有无影响 d1 d2 d3 V VB A + - 题 7-10 图 解:设电容器极板所带电荷面密度为 (1)两极间电势差 332211 dEdEdEVV BA 123 000r ddd 2 0 31 0 )(ddd r 由 3 31 d ddd, 3 2 d d 得 r BA dd VV 00 33 2 电容 d S d S VV Q C r r r r BA )12( 3 ) 12 ( 3 0 0 (2)若插入导体板,则0 2 E 113313 00 AB VVE dE ddd 13 000 2 ()() 33 dd ddd 电容 d S d S VV Q C BA 2 3 3 2 0 0 (3)上下移动介质板或导体板对电容无影响。 7-11 如图所示,一无限大平行板电容器,设BA、两板相距cm0. 5,板上各带 电荷 26 103 .3mC, A板带正电, B 板带负电并接地(地的电势为零) ,求: (1)在两板之间距 A板cm0.1处 P 点的电势; (2) A板的电势。 解: (1)平板电容器两板间场强 0 E P点电势 VrdVrdEV BP 4 0 1049.1)()( (2) A板的电势 d BA P r 题 7-11 图 VdVEdV BA 4 0 1086.1 7-12 面积是 2 2.0m的两平行导体板放在空气中相距5.0mm,两板电势差为 1000V ,略去边缘效应。试求: (1)电容 C ; (2)各板上的电量Q、电荷的面密度和板间电场强度 E 的值。 解: (1)平板电容器电容 FF d S C 390 1054.31054.3 (2)各板上的电量CCUQ AB 6 1054.3 板上电荷的面密度 26 1077. 1mC S Q 板间电场强度 E 的值 15 0 100 .2CNE 7-13 如 图所 示 , 电容 器由三 片面 积 都 是 2 0.6cm的锡箔构成,相邻两箔间距离都是mm10.0, 外边箔片联在一起成为一极,中间箔片作为另一极, 题 7-13 图 (1)求电容 C ; (2)若在这电容器上加V220电压,问三箔上电荷的面密度各是多少 解: (1)三片锡箔组成的电容器,其电容相当两个电容器的并联。 pFF d S d S CCC 21000 21 1006.11006.1 (2)总电量CCUQ 8 1034.2 对于中间一片锡箔,总电量Q均匀分布在箔的两面,故锡箔面电荷密度 25 1095. 1 2 mC S Q 7-14如图所示,同心球电容器内外半径分别为 1 R和 2 R,两球间充满相对电容 率为 r的均匀介质,内球带电量 Q,试求: (1)电容器内外各处电场强度E 和两球的电势差 U ; (2)电介质中电极化强度P 和极化电荷面密度; (3)电容 C 。 解: (1)内球所带电荷Q,在外球壳内外两表面感应出电荷Q和Q,两球间及 球外电场具有球对称性,由高斯定理 0 12 0 4 r Q r Er( 12 RrR) 0 2 2 0 4 Q r Er( 2 rR) 两球的电势差 22 11 1 0 4 RR RR r Qdr UE dr r 题 7-14 图 012 11 () 4 r Q RR (2)电介质中的极化强度 0 0101 2 (1) () 4 r r Q r PDEEr 极化电荷分布在靠近内外球表面的球面上,极化电荷面密度分别为 2 1 11 4 )1( cos R Q P r r (靠近内球表面 1 ) 2 2 22 4 )1( cos R Q P r r (靠近内球表面0 2 ) (3)由两球的电势差 012 11 () 4 r Q U RR ,电容器电容为 12 210 210 4 ) 11 ( 4 1 RR RR RR Q U Q C r r 7-15 一电容率为 0的无限大均匀介质中,有一个半径为 R的导体球,带电荷 Q。求电场的能量。 解:导体球的电荷均匀分布在外表面,球内不存在电场,电场只存在于球体外, 其空间分布为0 1 E( 0rR) 2 0 2 4r Q E( rR) 此时,电场的能量为 RRR R Q r drQ drr r Q dVEW 0 2 2 0 2 22 2 0 0 2 20 88 4) 4 ( 2 1 2 1 7-16 一空气球形电容器内外球壳的半径分别为 1 R和 2 R,分别带有等量异号电 荷,电势差为 U 。试求: (1)电势能;(2)电场
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