8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题,1平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面,两点,不在一条直线上,(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条_直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条_直线有且只有一个平面,一个,相交,平行,(3)平行公理：平行于_的两条直线互相平行 (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 3直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况 (2)平面与平面的位置关系有_、_两种情况 4等角定理 空间中如果两个角的_，那么这两个角相等或互补,同一条直线,相等或互补,相交,平行,在平面内,平行,相交,两边分别对应平行,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.() (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线(),(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.() (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.() (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面() (6)没有公共点的两条直线是异面直线() 【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),1下列命题正确的个数为() 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A0B1 C2 D3,【解析】 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确 【答案】 C,2(2017江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 【解析】 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面 【答案】 D,3(教材改编)两两平行的三条直线可确定_个平面 【解析】 三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个 【答案】 1或3,【答案】 4560,【答案】 ,题型一平面基本性质的应用 【例1】 (1)(2015广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值() A至多等于3B至多等于4 C等于5 D大于5,【解析】 n2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能，所以正整数n的取值至多等于4. 【答案】 B,(2)以下四个命题中，正确命题的个数是() 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3,【解析】 显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D、E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确 【答案】 B,易知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM， M平面EFHG，M平面ABC. 又平面EFHG平面ABCEG， MEG， FH，EG，AC共点,【方法规律】 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？,题型二判断空间两直线的位置关系 【例2】 (1)(2015广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() Al与l1，l2都不相交 Bl与l1，l2都相交 Cl至多与l1，l2中的一条相交 Dl至少与l1，l2中的一条相交,(2)(2017福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线 上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号),(3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),【解析】 (1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交 (2)由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错,(3)图中，直线GHMN； 图中，G，H，N三点共面，但M面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图中，G，M，N共面，但H面GMN， 因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面 【答案】 (1)D(2)(3),【方法规律】 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,跟踪训练2 (2017浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c. 若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交； 若a不垂直于c，则a与b一定不垂直； 若ab，则必有ac； 若ab，ac，则必有. 其中正确的命题的个数是() A0B1 C2 D3,【解析】 中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2. 【答案】 C,【解析】 (1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，,【答案】 (1)60(2)A 【方法规律】 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解,跟踪训练3 (1)(2017济南一模)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_ (2)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于() A30 B45 C60 D90,【解析】 (1)如图，设ACBDO，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.,AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1. 又易知A1BD1为正三角形，A1BD160. 即BA1与AC1成60的角,思想与方法系列15 构造模型判断空间线面位置关系 【典例】 已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则；,若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是() A B C D 【思维点拨】 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系,【解析】 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确,【答案】 A 【温馨提醒】 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,方法与技巧 1主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线,2判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解,