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第四章 圆与方程 知识点与习题1. 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 设M(x,y)为A上任意一点,则圆的集合可以写作:P = M | |MA| = r 2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r; 点与圆的位置关系:当,点在圆外; 当=,点在圆上当,点在圆内; (2)一般方程 (x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 () 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。(3)求圆的方程的方法:待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为 ,则有;(2) 过圆外一点的切线:设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k, 若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可; 若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线)(3) 过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24条外切1+23条相交|1-2|1+22条内切|1-2|1条内含|1-2|0条4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。(即几何法) 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、.圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程 若两圆相交,则该二元一次方程表示:圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程; 若两圆相切,则该二元一次方程表示:圆C1与圆C2的公切线的方程; 若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点向两个圆引切线, 得到的切线长相等(反之,亦成立)6、已知一直线与圆相交,求弦的长度 代数法:联立圆与直线的方程求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长 几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理) 7、已知两圆相交,求公共弦的长度代数法:联立两圆的方程求出交点坐标;利用两点间的距离公式求弦长几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)8、圆系与圆系方程 (1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。 (2) 圆系方程:圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 ()若圆 C1与圆C2交于P1、P2点,那么,方程()代表过P1、P2两点的圆的方程。若圆 C1与圆C2交于P点(一个点),则方程()代表过P点的圆的方程。9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论10、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组,、分别是P、Q、R在、轴上的坐标2、有序实数组,对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M,叫做点M的横坐标,叫做点M的纵坐标,叫做点M的竖坐标。11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点到点之间的距离公式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知两圆的方程是x2y21和x2y26x8y90,那么这两个圆的位置关系是()A相离B相交C外切 D内切解析:将圆x2y26x8y90,化为标准方程得(x3)2(y4)216.两圆的圆心距5,又r1r25,两圆外切答案:C2过点(2,1)的直线中,被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50 B3xy70Cx3y50 Dx3y10解析:依题意知,所求直线通过圆心(1,2),由直线的两点式方程得,即3xy50.答案:A3若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切,则a的值为()A1,1 B2,2C1 D1解析:圆x2y22x0的圆心C(1,0),半径为1,依题意得1,即|a2|,平方整理得a1.答案:D4经过圆x2y210上一点M(2,)的切线方程是()Axy100 B.x2y100Cxy100 D2xy100解析:点M(2,)在圆x2y210上,kOM,过点M的切线的斜率为k,故切线方程为y(x2),即2xy100.答案:D5点M(3,3,1)关于xOz平面的对称点是()A(3,3,1) B(3,3,1)C(3,3,1) D(3,3,1)解析:点M(3,3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)答案:D6若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点,点C是点D(2,2,5)关于y轴对称的点,则|AC|()A5 B.C10 D.解析:依题意得点A(1,2,3),C(2,2,5)|AC|.答案:B7若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点,且POQ120(其中O为坐标原点),则k的值为()A. B.C.或 D.和解析:由题意知,圆心O(0,0)到直线ykx1的距离为,k.答案:C8与圆O1:x2y24x4y70和圆O2:x2y24x10y130都相切的直线条数是()A4 B3C2 D1解析:两圆的方程配方得,O1:(x2)2(y2)21,O2:(x2)2(y5)216,圆心O1(2,2),O2(2,5),半径r11,r24,|O1O2|5,r1r25.|O1O2|r1r2,两圆外切,故有3条公切线答案:B9直线l将圆x2y22x4y0平分,且与直线x2y0垂直,则直线l的方程是()A2xy0 B2xy20Cx2y30 Dx2y30解析:依题意知,直线l过圆心(1,2),斜率k2,l的方程为y22(x1),即2xy0.答案:A10圆x2y2(4m2)x2my4m24m10的圆心在直线xy40上,那么圆的面积为()A9 BC2 D由m的值而定解析:x2y2(4m2)x2my4m24m10,x(2m1)2(ym)2m2.圆心(2m1,m),半径r|m|.依题意知2m1m40,m1.圆的面积S12.答案:B11当点P在圆x2y21上变动时,它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21解析:设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x,y,x12x3,y12y.又点P(x1,y1)在圆x2y21上,(2x3)24y21.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x3)24y21.答案:C12曲线y1与直线yk(x2)4有两个交点,则实数k的取值范围是()A(0,) B(,)C(, D(,解析:如图所示,曲线y1变形为x2(y1)24(y1),直线yk(x2)4过定点(2,4),当直线l与半圆相切时,有2,解得k.当直线l过点(2,1)时,k.因此,k的取值范围是k.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上)13圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离最小值为_解析:圆心(0,0)到直线3x4y250的距离为5,所求的最小值为4.答案:414圆心为(1,1)且与直线xy4相切的圆的方程是_解析:r,所以圆的方程为(x1)2(y1)22.答案:(x1)2(y1)2215方程x2y22ax2ay0表示的圆,关于直线yx对称;关于直线xy0对称;其圆心在x轴上,且过原点;其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是_解析:已知方程配方得,(xa)2(ya)22a2(a0),圆心坐标为(a,a),它在直线xy0上,已知圆关于直线xy0对称故正确答案:16直线x2y0被曲线x2y26x2y150所截得的弦长等于_解析:由x2y26x2y150,得(x3)2(y1)225.圆心(3,1)到直线x2y0的距离d.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中,由勾股定理得,弦长24.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)自A(4,0)引圆x2y24的割线AB
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