c b a 高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探 讨 在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表 示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算， 能够提升对向量的理解，方便问题的解决。 1. 叉乘的定义 【1】 要确定一个向量，需要知道它的模和方向。 如图 1，对于给定的向量a和b，规定向量 bac，满足： （1）模：babac,sin （2）方向：向量c的方向垂直于向量a和 b（向量a和b构成的平面） ， 且符合 右手定则 ： 用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着 手心的方向摆动角度)0(到向量b的方向， 大拇指所指的方向就是向量c的方向。 这里的也就是 ba, 。 这样的运算就叫向量的叉乘 ，又叫 外积 、向量积 。应特别注意的是，不同于向量的数 量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。 给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。 2. 叉乘的性质 （1）显然有0aa （2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即abba，这是 因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则 一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。 （3）易得对数乘的结合律，即ab)()(baba 图 1 k j i z y x O （4）可以证明分配律：cbcacba)(或cabacba)( 3. 叉乘的几何意义 如图2，在平面上取点 ,ba OBOAO，作bababa,sin ，由三角形面积 公式sin 2 1 abS可知ba表示以OBOA,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是 以OBOA,为两边的平行四边形的面积。 C B A O OB OA 即 OABCOAB SS2ba 4. 叉乘的坐标表示 将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标 系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。 要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基单位正交基底出 发。给定一组单位正交基底kji,，为满足运算要求，应使kji,符合右手 定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有 ikj jki kji ijk jik kij 从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。 可设),(),( 321321321321 bbbbbbaaaaaakjibkjia 则ba)()( 321321 kjikjibbbaaa 由向量叉乘的分配律可知， ),( )()() )()()( 122131132332 12213113233 2 231332123121 231332123121 ( babababababa babababababa babababababa babababababa kji ijikjk jkikkjijkiji原式 图 2 图 3 即),(),(),( 122131132332 321321 babababababa bbbaaa 这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。 5. 叉乘的实际应用 （1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了 极大简化。 【例 1】已知空间内有一平行四边形ABCD ，且 A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平 行四边形的面积。 【 分 析 】 按 照 常 规 解 法 ， 应 用 求 空 间 角 的 公 式 求 出ACAB和的 夹 角 ， 再 用 sin 2 1 abS等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求ACAB，即为所求面 积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。 【解答】)1,0,1(AB， )1 , 3, 4(AC 43 433)5(3 )3, 5, 3( 222 ABCD S ACAB ACAB （2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。 【2】 如图4，对于给定的直线l和点C，可在l上取点 BA,，则 AB ACAB ABC),(d 这是因为ACAB表示平行四边形 ABCD的面积，又等于),(dABCAB ? ，整理即 可得上式。 【例】已知点A(1,3,2)， B(2,3,1)，求点 C到直线 AB的距离 【解答】)1,0,1(AB， )1 , 3, 4(AC (D) C B A 图 2 86 2 43 ),(d 433)5(3 )3 , 5, 3( 222 AB ACAB ABC ACAB ACAB （3）求平面的法向量 由于向量叉乘运算bac中bcac且，由立体 几何知识可知， 如果选取一个平面内两个不共线的向量，计 算它们的叉乘， 那么其积向量就可以作为平面的法向量。正 是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以 大展身手。 【例 3】ABCD 为边长为4 的正方形， GC 平面 ABCD ， GC=2 ，E、F 分别是 AD 、AB的中点，求点B到平面 EFG的距 离。 【分析】 这是高中数学的常见问题。按照常规做法， 应利用数量积求出平面GEF的法向 量，再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF的法向 量。下面列出两种解法，以供比较。 【解法 1】如图 5，建立空间直角坐标系（坐标原点为C） ，则 A （4，4，0） ，B（0，4， 0） ， D （4，0，0） ，E（ 4，2，0） ，F（2， 4，0） ， G （0，0，2） 。设平面EFG的一个法向量为 0)2,4 ,2(),()0 ,2, 2(),(),(?zyxzyxGFEFzyxnnn则 11 11 2 11 2 ),(d ) 3, 1 , 1 ( 3, 11 33 ? n n n BF EFGB zyx zyx ，则令 【解法 2】空间直角坐标系的建立同解法1. 图 F E D B A G x z y 11 11 2 114 8 ),(d )12,4,4 )2,4 ,2(),0,2,2( ? n n n BF EFGB GFEFEFG GFEF （的法向量为平面 . 叉乘的物理意义 正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物 理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系， 下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为 例作简要说明。 如图 6，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为L 的导线通有电 流强度为I 的电流，导线与磁场成角。 由物理学规律可知 sinBILF 。 从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I 被定义为标量， 但由于电流有方向，不 妨把 I 理解为矢量I，则sinsinIBLLIBF。又 F 垂直于 B和 L 所成的平面， 且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”） ，故)(BILF 这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结 合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。 总之， 在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的 视野，令人感受到数学的无穷魅力。 参考文献： 【】向量 _-_ 向量叉乘 _向量点乘 .doc 来自（向东来） 图 6 I,L B