第三节函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 (2)如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0) ；如果函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则有 . 3周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足 ，那么函数f(x)为周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期,相同,相反,0,f(x)0,f(xT)f(x),1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 【提示】定义域关于原点对称，必要不充分条件 2(1)若yf(xa)是偶函数，函数yf(x)的图象有什么对称性？(2)如果yf(xb)是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？ 【提示】(1)f(x)的图象关于直线xa对称；(2)f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,【答案】B,【答案】A,3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 011)() A2 B2 C98 D98 【解析】f(x4)f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数， f(2 011)f(50243)f(3)f(1) 又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2122，则f(2 011)2. 【答案】A,4(2011浙江高考)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_. 【解析】函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，则(x)2|xa|x2|xa|， |xa|xa|. 解之得，a0. 【答案】0,(2012河源质检)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)的值为() A2B1C1D2 【思路点拨】当x0时，f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x)，函数具有周期性，从而利用题设条件可求,【尝试解答】f(x)是偶函数，f(2 011)f(2 011)， 当x0时，f(x2)f(x)， f(x4)f(x)，则4是f(x)(x0)的一个周期， f(2 012)f(0)，f(2 011)f(3)f(1)， 又当x0,2)时，f(x)log2(x1)， 因此f(2 011)f(2 012)f(0)f(1)log21log221. 【答案】B,【答案】A,函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围 【思路点拨】,思想方法之一转化思想在函数奇偶性中的应用,(2010课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0() Ax|x2或x4Bx|x0或x4 Cx|x0或x6 Dx|x2或x2 【解析】当x0时，f(x)x38， f(x)在x0，)上是增函数，且f(2)0， f(x2)f(2)，(*) 又f(x)是偶函数， 由(*)得f(|x2|)f(2)|x2|2. 解之得x4或x0.选B. 【答案】B,易错提示：(1)将f(x2)盲目代入解析式f(x)x38，忽视定义域的限制，无解而终 (2)挖掘不出题目的隐含条件，f(2)0以及f(x)在0，)上的单调性，不能由单调性脱掉“f” (3)不能灵活运用偶函数的性质f(|x|)f(x)，简化运算 防范措施：(1)要解不等式f(x2)0，需将法则“f”去掉，注意到f(x)x38(x0)，f(2)0，将f(x2)0转化为f(x2)f(2)，为利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件 (2)注意到f(x2)可由f(x)的图象向右平移得到，数形结合可由f(x)0的解集x|x2或x2，得f(x2)0的解,1(2011广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数 【解析】由f(x)是偶函数、g(x)是奇函数，得|f(x)|和|g(x)|都是偶函数， f(x)|g(x)|与f(x)|g(x)|都是偶函数，|f(x)|g(x)与|f(x)|g(x)的奇偶性不能确定 【答案】A,2(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为() A6B7C8D9 【解析】f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0 x2时， f(x)x3xx(x1)(x1)， 当0 x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21. 由函数的周期性，知f(2)f(4)f(6)f(0)0， f(5)f(3)f(1)0， f(x)0在0,6上有7个实根故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7. 【答案】B,课时知能训练,本小节结束 请按ESC键返回,