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2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系 (2)异面直线所成角,Yesterday once more, 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么。这条直线在此平面内 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面。 推论1:经过,有且只一条直线和这条直线外一点 有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。, 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那 有且只有一条过该点的公共直线 么它们。 公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行。 空间中直线与直线的位置关系:,学习目标 1、熟练空间两条直线的位置关系; 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角; 3、掌握等角定理及其应用。 重点:异面直线所成角的概念。 难点:异面直线所成角的定义的理解。, 在平面内,如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角有什么关系?,抛砖引玉, 在空间中,如果两个角的两边分别对应 平行,结论是否仍然成立呢?,抛砖引玉,1、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 【定理的推论】 如果两条相交直线和另两条相交直线分别 平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。, 平面内,两条直线相交成4个角,其中锐角 (或直角)称为它们的夹角。 夹角刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜 的程度。 那么,两条异面直线之间的夹角是怎样的呢,?b,a,自主学习(3min) 阅读教材P4647,回答下列几个问题: 1、什么叫两条异面直线所成的角? 2、两条异面直线所成角的范围? 3、两条空间直线互相垂直的定义及表示方法 ?,2、异面直线所成角: 如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b,所成的角(或夹角)。 b,b,平移,aoa, a与b所成角的大小与点O的位置有关吗? 为了简便,点O通常取在两条异面直线中,的一条上。O, 异面直线所成角的实质: 异面直线经过平移到相交位置所成角。,空间图 形平面图形,举一反三,3、异面直线所成角的范围: 如果两条异面直线所成的角是直角, 那么我们就说这两条直线互相垂直。,O, 两条互相垂直的异面直线a、b,记作ab。 0 我们规定:两条平行直线的夹角为 。 那么,两条异面直线所成的角的取值范围是 :,看图说话 1(1)长方体ABCD-ABCD中,有没有两条棱所 在的直线是互相垂直的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?CD D,BA,求异面直线夹角的一般步骤是: 精讲点拨 “作证算答” 【例】如图,在正方体ABCD-ABCD中: (1)哪些棱所在的直线与直线AA垂直? (2)哪些棱所在的直线与直线AB垂直? (3)直线AB和CC所成角是多少? 解:(1) 直线AB,BC,CD,DA, AB,DC ,BC, CD, DA与直线AA 都垂直.,A,B,(2) 直线AD,BC, BC ,AD与直线AB都垂直.,D,C,(3)BBCC,BBA就 是异面直线AB与CC所成角,A,B,异面直线AB与CC所成角是450 。,追踪训练 2、如图,已知正方体ABCDABCD ,求异 面直线AB和AC所成的角。60 0,DC,AB,DC,AB,提升训练 3、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为4的正方形,高为2,点E、F分别是A1B1和BB1的中点,求异面直线EF与AD1所成角的余弦值。,D1C1,A1D EB1F C,AB,合作交流 4、在四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC,中点,已知AB=4,CD=2,EF= ,求异面直,线AB和CD所成的角。60 0 A,EM,D,BFC,合作交流 4、在四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC,上的点,且,已知AB=CD=3,,B,EF=,,求异面直线AB和CD所成的角。60 0 A E M D C F,知识盘点,1、等角定理; 2、异面直线夹角的概念; 3、求异面直线的夹角的一般步骤是:“作证算答”,课后作业 写本上:教材P48练习2; 写书上:教材P48练习1 教材P51习题A组3 ,4,
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