二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,例3,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,（取虚部）,原方程通解为,这种方法称为复数法,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,所求非齐方程特解为,（取实部）,原方程通解为,注意,例5,解,对应齐方程通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例6,求通解,解,相应齐方程,特征方程,齐通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程的特解,所求通解为,例7,设,具有连续的二阶偏导数,且满足,求 u 的表达式,解,记,则,同理,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,解得,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间,下段重为,解,设时刻 t 链条下落了 x 米,另设链条单位长重为,则上段重为,由Newton第二定律,例8,特征方程,特征根,齐通解,特解,故,代入初始条件,解得,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,练 习 题,练习题答案,