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第三节 三角函数的图象与性质,三年9考 高考指数: 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等).理解正切函数的单调性.,1.三角函数的图象和性质是考查的重点,特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用. 2.在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,同时既能利用函数的性质来描绘函数的图象,又能熟练地运用数形结合的思想方法. 3.主要以选择题、填空题的形式考查,性质的综合应用有时会在解答题中考查,属中档题.,1.周期函数和最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有_,则称f(x)为周期函数,T 为它的 一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正 数叫做f(x)的最小正周期.,f(x+T)=f(x),【即时应用】 思考:(1)常函数f(x)=a(aR)是否为周期函数,有无最小正周期? (2)若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),函数f(x)是周期函数,对吗? 提示:(1)是周期函数,但没有最小正周期. (2)对,因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期函数,最小正周期是4.,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,xR,xR,-1,1,-1,1,xR且x +k, kZ,R,单调性,递增区间是 2k- ,2k+ (kZ), 递减区间是 2k+ ,2k+ (kZ),递增区间是 2k-,2k (kZ), 递减区间是 2k,2k+ (kZ),递增区间是 (k- , k+ ) (kZ),无最大值 和最小值,最值,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,+2k(kZ),+2k(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),奇偶性,奇函数,偶函数,奇函数,对 称 性,对称 中心,对称 轴,(k,0),kZ,(k+ ,0),kZ,( ,0),kZ,x=k+ ,kZ,x=k,kZ,无对称轴,最小正周期,2,2,【即时应用】 (1)判断下列命题的正误.(请在括号中填“”或“”) y=sinx在第一、第四象限是增函数. ( ) y=sinx在x- , 上是增函数. ( ) y=tanx在定义域上是增函数. ( ) y=sin|x|是偶函数. ( ) y=sin2x的周期为2. ( ) y=cos2x的对称中心为(k+ ,0),kZ. ( ),(2)若直线y=a与函数y=sinx,x-2,2)的图象有4个交点,则a的取值范围是_. (3)函数y=tan( -x)的定义域是_.,【解析】(1)由y=sinx的递增区间是2k- ,2k+ (kZ)可知不正确,正确;由y=tanx在(k- ,k+ ) (kZ)上是增函数可知不正确;由sin|-x|=sin|x|可知 正确;由y=sin2x的周期为 =知不正确;由余弦函数 y=cosx的对称中心为(k+ ,0)(kZ)可得x= + ,所 以( + ,0)(kZ)为y=cos2x的对称中心,故不正确.,(2)如图所示: y=sinx,x-2,2)有两个周期, 故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1a1.,(3)由x- k+ ,kZ得xk+ ,kZ, 所以y=tan( -x)的定义域为x|xk+ ,kZ 答案:(1) (2)-1a1 (3)x|xk+ ,kZ,三角函数的定义域和值域 【方法点睛】 1.三角函数的定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的求法 (1)利用sinx和cosx的值域直接求. (2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域. (3)把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域. (4)利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.,【例1】(1)函数y= 的定义域为_. (2)已知f(x)的定义域为0,1,则f(cosx)的定义域 为_. (3)函数y=lgsin(cosx)的定义域为_. (4)当x , 时,函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_, 最大值是_.,【解题指南】(1)tanx-10,且xk+ ,kZ;(2)要使 0cosx1;(3)要使sin(cosx)0,这里的cosx以它的值 充当角.(4)利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数 求解.,【规范解答】(1)由tanx-10,且xk+ ,kZ得 xk+ 且xk+ ,kZ,所以函数的定义域为:x|xk+ 且xk+ ,kZ 答案:x|xk+ 且xk+ ,kZ (2)0cosx12k x2k+ (kZ). 所求函数的定义域为2k ,2k+ (kZ). 答案:2k ,2k+ (kZ),(3)由sin(cosx)02kcosx2k+(kZ). 又1cosx1,0cosx1. 故所求定义域为(2k ,2k+ ),kZ. 答案:(2k ,2k+ ),kZ,(4)因为x , ,- sinx1, y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1=2(sinx- )2+ , 所以当sinx= 时,ymin= ; 当sinx=1或- 时,ymax=2. 答案: 2,【互动探究】把本例(2)中的cosx改为sinx,如何求解? 【解析】要使0sinx1,则2kx2k+,kZ, 所求函数的定义域为2k,2k+,kZ.,【反思感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式. 2.在求三角函数的值域时,很多时候要进行三角变换或者三角转化,这时候一定要注意所给的定义域和三角函数的值域的应用.,【变式备选】1.函数y= 的定义域为_. 【解析】由 -10, 1, 2,0 得2kx2k+ 或2k+ x2k+,kZ. 答案:(2k,2k+ 2k+ ,2k+),(kZ),2.函数y=f(cosx)的定义域为2k- ,2k+ (kZ),则 函数y=f(x)的定义域为_. 【解析】由2k- x2k+ ,得- cosx1,所以函数 y=f(x)的定义域为- ,1. 答案:- ,1,3.求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x0,的最大值和最小值. 【解析】设sinx-cosx=t,t= sin(x- ),- x- , - sin(x- )1得t-1, ,sinxcosx= ,y=t+ =- t2+t+ =- (t-1)2+1, 当t=1时,ymax=1; 当t=-1时,ymin=-1.,三角函数的单调性 【方法点睛】复合三角函数的单调区间 求形如y=Asin(x+)+k的单调区间时,只需把x+看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.求y=Acos(x+)+k和y=Atan(x+)+k 的单调区间与之类似. 【提醒】熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础.,【例2】求下列函数的单调区间: (1)y= sin( - );(2)y=sin(x+ ). 【解题指南】(1)要将原函数化为y= sin( x )再求之. (2)可画出y=|sin(x+ )|的图象.,【规范解答】(1)y= 故由2k 2k+ 3k x3k+ (kZ)为单调递减区间; 由2k+ 2k+ 3k+ x3k+ (kZ)为单调递增区间. 单调递减区间为3k ,3k+ (kZ), 单调递增区间为3k+ ,3k+ (kZ).,(2)y=|sin(x+ )|的图象如图,单调递增区间为k+ ,k+ (kZ),单调递减区间为k ,k+ (kZ).,【反思感悟】三角函数的单调区间的求法 (1)代换法 所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间,这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间.,(2)图象法 函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,如果能画出三角函数的图象,那它的单调区间就直观明了了.,【变式训练】求下列函数的单调递增区间: (1)ycos(2x );(2)y3sin( ). 【解析】(1)设2x ,则ycos当2k2k(kZ)时,ycosu随u的增大而增大. 又2x 随x的增大而增大(xR), 当2k2x 2k(kZ), 即k xk (kZ)时,y随x增大而增大, ycos(2x )的单调递增区间为: k ,k (kZ).,(2)设 ,则y3sin, 当2k 2k (kZ)时,y3sin随u增大而减小, 又 随x增大而减小(xR), 当2k 2k (kZ), 即4k x4k (kZ)时,y随x增大而增大, y3sin( )的单调递增区间为 4k ,4k (kZ).,三角函数的奇偶性和周期性 【方法点睛】 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性,再根据题目去判断它们的奇偶性;也可以根据图象做判断.,2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期 为 ,y=tan(x+)的最小正周期为 . (3)利用图象.,3.三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 【提醒】判断函数的奇偶性时,必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.要注意以下两种情况:一是没有考虑原函数的定义域;二是化简时没有注意等价变形.,【例3】设函数f(x)=sin(x+)(0,| ),给出以下四个论断: 它的最小正周期为; 它的图象关于直线x= 成轴对称图形; 它的图象关于点( ,0)成中心对称图形; 在区间- ,0)上是增函数. 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可).,【解题指南】本题是一个开放性题目,依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.,【规范解答】若、成立,则= =2; 令2 +=k+ ,kZ,且| ,故k=0,= .此 时f(x)=sin(2x+ ),当x= 时,sin(2x+ )=sin=0, f(x)的图象关于( ,0)成中心对称;又f(x)在- , 上 是增函数,在- ,0)上也是增函数,因此,用类 似的分析可得.因此填或. 答案:(也可填),【反思感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质,要切实掌握,而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图象,其中对称性包含轴对称和中心对称.,【变式训练】已知函数f(x)=sin(x )1,则下列说法正确的是( ) (A)f(x)是周期为1的奇函数 (B)f(x)是周期为2的偶函数 (C)f(x)是周期为1的非奇非偶函数 (D)f(x)是周期为2的非奇非偶函数 【解析】选B.T= =2,且f(x)=sin(x )1 =-cosx1,f(x)为偶函数.,【变式备选】已知函数f(x)=sin(x+),其中0,| . (1)若cos cos-sin sin=0,求的值; (2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间 的距离等于 ,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函 数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.,【解析】(1)由cos cos-sin sin=0得 cos cos-sin sin=0,即cos( +)=0, 又| ,= . (2)由(1)得,f(x
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