1 北京师大附中2018-2019 学年上学期高一年级期末考试数学 试卷 本试卷有三道大题。考试时长120 分钟，满分150 分。 一、本大题共 10 小题，共 40 分。 1.已知集合 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 试题分析：由解得，所以，所以，故选 C 考点： 1、不等式的解法；2、集合的交集运算 2.已知向量， ，若，则 t= （） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】 A 【解析】 【分析】 运用向量垂直的充要条件列方程求得t的值； 【详解】， ?0t0， 解得t； 故选 A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的充要条件，关键是用坐标表示向量垂直的公式要熟悉， 是基础题 3.下列函数的最小正周期为 且图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 将x代入各个关系式，看看能否取到最值即可验证图象关于直线x对称，分别求出最 小正周期验证即可 【详解】A，对于函数，令x，求得y，不是函数的最值， 故函数y的图象不关于直线x对称，故排除A B，对于函数ysin （2x） ，令x，求得y1，是函数的最值， 故图象关于直线x对 称；且有T，故满足条件； C，由T4 可知，函数的最小正周期不为，故排除C D，由T4 可知，函数的最小正周期不为，故排除D 故选：B 【点睛】 本题考查正弦函数的对称性及周期，代入验证是解决此类问题的捷径，属于中档题 4.要得到函数的图象，只需将函数 的图象（） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用函数y=Asin （x+）的图象变换规律，可得结论 【详解】 解：将函数ysin2x， 向左平移个单位长度， 可得y sin2（x） ， 即 sin2（x） 故选：C 【点睛】本题主要考查函数y=Asin （x+ ）的图象变换规律，属于基础题 3 5.在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析 ：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用 向 量 的 加法 运 算 法则 -三 角 形法 则 ， 得到， 之 后 将其 合 并 ，得 到 ，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 详解 ：根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向 量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要 认真对待每一步运算. 6.函数（其中）的图象的一部分如图所示，则（） 4 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 先利用图象中的2 和 6，求得函数的周期，求得，最后根据x2 时取最大值，求得，即 可得解 【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（62）4 16， 又 0， ， 当x2 时取最大值，即2sin （2） 2，可得： 22k，kZ， 2k，kZ， 0， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了由yAsin （x+）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图 的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查 7.已知 a，b 为非零向量，则“ab0”是“ a 与 b 的夹角为锐角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 时，与的夹角为锐角或零角. 由此判断即可. 【详解】时，与的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立 5 而与的夹角为锐角或零角时，有，必要性成立， 故选： B 【点睛】本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，以及必要而不充分条件的判断， 属基础题 8.计算：的结果是（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】 A 【解析】 【分析】 由已知可得原式等于， 利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结 果 【详解】 4 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式和两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题 9.已知 ，当时，为增函数。设，则 a， b，c 的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 由f（x）f（2x）可得出f（ 1）f（ 3） ，根据f（x）在（ 1，+）上为增函数可得 出f（3）f（2）f（ 1） ，从而得出a，b，c的大小关系 【详解】f（x）f（2x） ； 6 f（ 1）f（3） ； x（ 1，+）时，f（x）为增函数； f（3）f（2）f（1） ； cba 故选：D 【点睛】本题考查增函数的定义，关键是将自变量的取值通过条件转到同一个单调区间上， 再根据增函数，比较函数值的大小 10.函数是定义域为R的偶函数，当时，, 若关于 x 的方 程有且仅有6 个不同实数根，则实数a 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 作出的图象如下， 又函数y=f（x）是定义域为R 的偶函数， 且关于 x 的方程，a， bR 有且仅有6 个不同实数根， x 2+ax+b=0 的两根分别为 或； 由韦达定理可得， 7 若，则，即； 若，则，即； 从而可知或； 故选 C 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然 后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上，然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验， 看所求的自变量的值是否满足 相应段自变量的取值范围 二、填空题：共6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_。 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形面积计算公式、弧长公式即可得出 【详解】，解得r2 扇形的弧长 故答案为. 【点睛】本题考查了扇形面积计算公式、弧长公式，熟悉公式是解题的关键，属于基础题 12.已知，且角终边上一点为，且，则_。 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 是第二象限角，y 0，再根据cos，求得y的值 【详解】 tan 0，且角 终边上一点为（1，y） ， 8 是第二象限角，y 0 再根据 cos， y， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的符号，属于中档 题 13.已知为锐角， ，则_。 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得sin 、cos（ +）的值，再利用两角和差的正弦公式 求得 （+） 的值 【详解】 、 为锐角， cos，sin ， sin （+）sin ， + 为钝角， cos（ +）， sin sin （+） sin （+）cos-cos （+）sin ? 故答案为. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，其中将所求 角用已知角配凑成=（ +） ，是解题的关键，属于较难题 14.平面向量a 与 b 的夹角为60，a，| b|=1 ，则 | a+2b|=_ 。 【答案】 【解析】 由向量与的夹角为，可得， 则，故答案为. 点睛： 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查 9 运算求解的能力，属于基础题；运用向量的数量积的定义，可得， 再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值. 【此处有视频，请去附件查看】 15.已知 ，则的最小值为 _。 【答案】 4 【解析】 【分析】 由，且x+y1，进行 1 的代换（） （x+y） ， 展开利用基本不等式可求 【详解】x，y 0且x+y1， 则（） （x+y） 24， 当且仅当且x+y1 即xy时取等号，此时所求最小值4 故答案为 4. 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵 活应用 16.在直角三角形ABC中， ACB=90， AC=BC=2, 点 P是斜边 AB上的一个三等分点，则 _。 【答案】 4 【解析】 试题分析： 依题意得，该三角形为等腰直角三角形，由于 P是AB 的一个三等分点， 所以 ,=+,=(+) =4+， , 故4. 10 考点：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积。 点评：中档题，应用数形结合思想，从图形的几何特征入手，发现向量之间的关系，这也是 解答平面向量问题时常常用到的方法，即选定基向量，将其它向量用此表示，进一步计算。 而基向量的选定，往往是相关联、不共线的向量。 三、解答题：共 6 个小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程。 17.已知，且 。 （1）求的值； （2）求的值。 【答案】 (I). (II) -7. 【解析】 试题分析：（）利用同角三角函数的基本关系，求得的值 （）由题意利用二倍角公式求得的值 试题解析： (I) 因为， 所以 所以. (II) 由(I) ， 所以. 所以. 11 18.已知函数。 （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间。 【答案】（1）2 ； （2） 【解析】 【分析】 （1）由二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数式，再由特殊角的三角函数值，即可得 到； （2）运用正弦函数的单调增区间，解不等式，即可得到所求区间 【详解】（1）函数f（x） 2sinx（sinx+cosx） 2sinxcosx+2sin 2xsin2 x+1cos2x 1+sin （2x） ， 则f（ ） 1+sin （） 1=2； （2）令 2k2x2k，解得，kxk，kZ， 则单调递增区间为： 【点睛】 本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式及运用，考查三角函数的单调性，考查运 算能力，属于基础题 19.已知向量，设?。 （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值及最小值。 【答案】（1） ； （2）最大值，最小值 -1 【解析】 【分析】 （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算得出f（x）解析式，找出 的值，代入周期公式即可求出最小正周期； （2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域就确定出f（x）的最 大值与最小值 12 【详解】（1）（cosx+sinx，sinx） ，（cosxsinx，2cosx） ， f（x）?（ cosx+sinx） （cosxsinx）+2sinxcosxcos 2xsin2x+sin2 x cos2x+sin2xsin （2x） ， 2，T； （2）x0 ， ，2x ， ， 当 2x，即x时，f（x）min 1； 当 2x，即x时，f（x）max， 综上所述，当x时，f（x）min 1；当x时，f（x）max 【点睛】本题考查了二倍角公式，平面向量的数量积运算，三角函数的周期性及其求法，以 及正弦函数的值域，熟练掌握公式是解本题的关键 20.已知，是同一平面内的三个向量，其中 =（1,2 ） 。 （1）若，且，求的坐标。 （2）若，且与垂直，求与的夹角。 【答案】（1）=（2,4）或=（-2，-4） ； （ 2） 【解析】 【分析】 （1）根据，从而可得到，进而，可求出k的值，从而得出的坐标； （2）根据与垂直，可得出，根据条件进行数量积的运 算即可求出的值，从而求出与的夹角 【详解】（1）； 设，且，； ； k2； 13 ，或； （2），且； 0； ； 又； 与的夹角为 【点睛】考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向量长度，向量垂 直的充要条件，以及向量夹角的范围，属于中档题. 21.已知奇函数