第三节 三角函数的图象与性质,三年10考 高考指数: 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在 上的单调性.,1.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用.同时还考查数形结合思想的理解和应用. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题.,1.周期函数和最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有_,则称f(x)为周期函数,T为它的 一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的 正数叫做f(x)的_.,f(x+T)=f(x),最小正周期,【即时应用】 (1)思考：常函数f(x)=a(aR)是否为周期函数,有无最小正周期? 提示：是周期函数，但没有最小正周期.,(2)思考：若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，对吗？ 提示：对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期是4.,(3)函数 的最小正周期是_. 【解析】 由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4. 答案：4,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,xR,xR,-1,1,-1,1,xR且x +k, kZ,R,单调性,递增区间是 2k- ,2k+ (kZ), 递减区间是 2k+ ,2k+ (kZ),递增区间是 2k-,2k (kZ), 递减区间是 2k,2k+ (kZ),递增区间是 (k- , k+ ) (kZ),无最大值 和最小值,最值,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,+2k(kZ),+2k(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),奇偶性,奇函数,偶函数,奇函数,对 称 性,对称 中心,对称 轴,(k,0),kZ,(k+ ,0),kZ,( ,0),kZ,x=k+ ,kZ,x=k,kZ,无对称轴,最小正周期,2,2,【即时应用】 (1)判断下列命题的正误(请在括号中填“”或“”) y=sinx在第一、第四象限是增函数.( ) y=sinx在x 上是增函数.( ) y=tanx在定义域上是增函数.( ) y=sin|x|是偶函数.( ) y=sin2x的周期为2.( ) y=cos2x的对称中心为(k+ ,0)，kZ.( ),(2)若直线y=a与函数y=sinx,x-2,2)的图象有4个交点, 则a的取值范围是_. (3)函数y=tan( -x)的定义域是_.,【解析】(1)由y=sinx的递增区间是 (kZ） 可知不正确,正确；由y=tanx在 (kZ）上是 增函数可知不正确；由sin|-x|=sin|x|可知正确；由y= sin2x的周期为 知不正确；由余弦函数y=cosx的对称 中心为 (kZ）可得x= 所以 (kZ） 为y=cos2x的对称中心，故不正确.,(2)如图所示: y=sinx,x-2,2）有两个周期, 故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1a1.,(3)由 kZ得 kZ,所以 的定义域为 答案：(1) (2)-1a1 (3),三角函数的定义域和值域 【方法点睛】 1.三角函数的定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组）,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sinx和cosx的值域直接求. (2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+）的形式求值域. (3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域. (4)利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.,【例1】(1)函数y= 的定义域为_. (2)已知f(x）的定义域为0，1，则f(cosx）的定义域 为_. (3)当x 时，函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_，最大值是_. 【解题指南】(1)由tanx-10,且xk+ kZ求解;(2)利用cosx0,1求得x;(3)利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数求解.,【规范解答】(1)由tanx-10,且 得 且 所以函数的定义域为： 答案：,(2)0cosx1 所求函数的定义域为 答案：,(3)因为x 所以 y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1 所以当sinx= 时， 当sinx=1或 时，ymax=2. 答案：,【互动探究】把本例(2)中的cosx改为sinx，如何求解？ 【解析】要使0sinx1，则2kx2k+，kZ， 所求函数的定义域为2k，2k+，kZ.,【反思感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式. 2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围.,【变式备选】(1)函数y= 的定义域为_. (2)求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x0,的最大值和最小值.,【解析】(1)由2sinx-10得 又sinx1， 答案：,(2)设sinx-cosx=t, 得 当t=1时，ymax=1； 当t=-1时，ymin=-1.,三角函数的单调性 【方法点睛】 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.,(2)图象法 函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.,【例2】求下列函数的单调区间： 【解题指南】(1)要将原函数化为 再求之. (2)可画出y=|sin(x+ )|的图象，利用图象求解.,【规范解答】(1)y= 故由 为单调递减区间； 由 为单调递增区间. 单调递减区间为 单调递增区间为,(2) 的图象如图，单调递增区间为 单调递减区间为,【反思感悟】1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础. 2.求形如y=Asin(x+)+k 的单调区间时,只需把x+看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内求得x的区间即可,求y=Acos(x+)+k和y=Atan(x+)+k 的单调区间类似.,【变式训练】求下列函数的单调递增区间：,【解析】(1)设 则ycos当2k2k(kZ)时，ycosu随u的增大而增大. 又 随x的增大而增大(xR), 当 即 (kZ)时，y随x的增大而增大, y 的单调递增区间为： (kZ).,(2)设 则y3sin, 当 (kZ)时， y3sin随u的增大而减小， 又 随x的增大而减小(xR), 当 (kZ), 即 (kZ)时，y随x的增大而增大, y 的单调递增区间为 (kZ).,三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【方法点睛】 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断.,2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期 为 y=tan(x+)的最小正周期为 (3)利用图象.,3.三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.,【例3】(1)(2011广州模拟)已知函数y=2cos(x+)(0)的最小正周期为,那么=( ),(2)设函数f(x)=sin(x+)(0,| )，给出以下四个论断： 它的最小正周期为； 它的图象关于直线 成轴对称图形； 它的图象关于点 成中心对称图形； 在区间 上是增函数. 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可).,【解题指南】(1)根据最小正周期T= 求解. (2)本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.,【规范解答】(1)选D.T= |=2,又0,=2.,(2)若、成立，则 令 kZ，且 | 故k=0，= 此时f(x)= 当x= 时， f(x)的图象关于 成中心对称；又f(x)在 上是增 函数，在 上也是增函数，因此，用类似的 分析可得.因此填或. 答案：(也可填),【反思感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图象，其中对称性包含轴对称和中心对称.,【变式训练】已知函数f(x)= 则下列说法正确的 是( ) (A)f(x)是周期为1的奇函数 (B)f(x)是周期为2的偶函数 (C)f(x)是周期为1的非奇非偶函数 (D)f(x)是周期为2的非奇非偶函数 【解析】选B. 且f(x)= f(x)为偶函数.,【易错误区】有关三角函数图象与性质的易错点 【典例】(2011安徽高考)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR,ab0，若f(x)|f( )|对一切xR恒成立，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数,f(x)的单调递增区间是 存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是_(写出正确结论的编号). 【解题指南】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a,bR,ab0，变形为 f(x)= 然后根据性质顺次判断命题的正误.,【规范解答】由f(x) 对一切xR恒成立知， 直线 是f(x)的对称轴， 又f(x)= (其中tan= )的周期为， 可看作x= 的值加了 个周期， 故正确. 和 与对称轴的距离相等. 故不正确., 是对称轴， 或 f(x)=2|b|sin(2x+ )或f(x)=2|b|sin(2x- )， f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确.,由以上知，f(x)=2|b|sin(2x+ )的单调递增区间为 f(x)=2|b|sin(2x- )的单调递增区间为 由于f(x)的解析式不确定. 单调递增区间也不确定，故不正确.,f(x)=asin2x+bcos2x= (其中tan= )， 又ab0，a0,b0， 过点(a，b)的直线必与函数f(x)图象相交，故不正确. 答案：,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011陕西高考)设函数f(x)(xR)满足f(-x)=f(x), f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( ),【解析】选B.由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称，可知B、D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图象的最小正周期是4，不符合，选项B的图象的最小正周期是2，符合，故选B.,2.(2011新课标全国卷)设函数 则( ) (A)y=f(x)在 内单调递增，其图象关于直线 对称 (B)y=f(x)在 内单调递增，其图象关于直线 对称 (C)y=f(x)在 内单调递减，其图象关于直线 对称 (D)y=f(x)在 内单调递减，其图象关于直线 对称,【解析】选D. f(x)在 内单调递减，且图象关于直线 对称.,3.