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江西省名师联盟2020届高三数学入学调研考试试题 理(含解析)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则的子集个数为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解二次不等式可得,再由集合的交集的运算=,再由元集合的子集个数为,代入运算即可得解.【详解】解:解二次不等式得,解得,即,又,所以=,即的子集个数为,故选C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合交集的运算及集合真子集的个数,重点考查了集合的思想,属基础题.2.已知复数,则在复平面上对应的点所在象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则算出即可【详解】,在复平面对应的点的坐标为,所在象限是第四象限.故选:D【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义,较简单.3.在等差数列an中,若a35,S424,则a9( )A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B【解析】【分析】由a35,S424用通项公式和前项和公式列出关于,的方程,得到的通项公式,从而求出答案.【详解】数列an为等差数列,设首项为a1,公差为d,a35,S424,a1+2d5,4a1+d24,联立解得a19,d2,则a99287故选:B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用,属于基础题.4.下列函数中,既是奇函数又在定义域内递增的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考查选项A,检验是否恒成立,再利用导数来判断函数的单调性即可;考查选项B,,即不恒成立,即函数不为奇函数,考查选项C,函数的增区间为,则函数在定义域上不单调,考查选项D,,即不恒成立,即函数不为奇函数,得解.【详解】解:对于选项A,恒成立,且,即函数为奇函数且为增函数,对于选项B,则函数不为奇函数,对于选项C,函数的增区间为,函数在不为增函数,对于选项D,则函数不为奇函数,故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性,重点考查了函数的单调区间与函数的定义域,属中档题.5.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】总共有10种结果,其中相生的有5种,由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种,共种,而相生有5种,则抽到的两种物质不相生的概率故选:D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率,较简单.6.设是两平面,是两直线.下列说法正确的是( )若,则若,则若,则若,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可【详解】由平行公理知对,由线面垂直的性质定理知对,垂直于同一直线的两个平面平行,故对,由面面垂直性质定理知对.故选:D【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直有关的定理,属于基础题.7.下图是一程序框图,若输入的,则输出的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次列出此程序框图的运行步骤即可【详解】运行程序框图,;,;,输出.故选:C【点睛】本题考查的是程序框图的知识,较简单.8.函数(其中,)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有点( )A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先由图象求出的解析式,然后根据三角函数的平移变换选出答案即可【详解】由题意知,由于,故,所以,由,求得,故,故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到.故选:B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换,较简单.9.的展开式中x2y2项的系数是()A. 420B. 420C. 1680D. 1680【答案】A【解析】【分析】由题意根据乘方的意义,组合数的计算公式,求得展开式中x2y2项的系数.【详解】解:表示8个因式的乘积,要得到展开式中含x2y2的项,则故其中有2个因式取2x,有2个因式取,其余的4个因式都取1,可得含x2y2的项故展开式中x2y2项的系数是22 420,故选:A【点睛】本题主要考查乘方的意义,组合数的计算公式,属于基础题.10.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗,太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为,设点,则的取值范围是A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】【分析】结合图形,平移直线,当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值【详解】如图,作直线,当直线上移与圆相切时,取最大值,此时,圆心到直线的距离等于1,即,解得的最大值为:,当下移与圆相切时,取最小值,同理,即的最小值为:,所以故选【点睛】本题考查线性规划的数据应用,考查转化思想以及计算能力;考查分析问题解决问题的能力11.已知双曲线()的右焦点为是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点,且线段的中点落在另一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先由已知条件求出的中点的坐标,再代入到另一条渐近线方程中求解即可.【详解】解:由双曲线,则其渐近线方程为,因由图可知: 不妨设A,则B,又,可得AF的中点坐标为,所以,解得:,故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,属中档题.12.已知函数,(为实数),若存在实数,使得对任意恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出的单调性,得出,即,然后求出右边的最小值即可【详解】,则,若,可得,函数为增函数,当时,不满足对任意恒成立;若,由,得,则,当时,当时,若对任意恒成立,则恒成立,若存在实数,使得成立,则,令,则.当时,当时,则.即实数的取值范围是.故选:A【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题,属于较难题2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.平面内不共线的三点,满足,点为线段的中点,若,则_.【答案】120【解析】【分析】由平方即可算出,然后即可得出答案【详解】点为线段的中点,解得,.故答案为:【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算,较简单.14.已知数列中,且,数列的前项和为,则_.【答案】【解析】【分析】由得,即数列是以2为首项,以为公比的等比数列,即可求出,进而求得【详解】因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,以为公比的等比数列,所以,即,所以.故答案为:【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n项和的求法,属于基础题.15.已知直线经过抛物线的焦点,与抛物线交于、,且,点是弧(为原点)上一动点,以为圆心的圆与直线相切,当圆的面积最大时,圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】作出图形,利用两点间的斜率公式得出直线的斜率,可得出直线的方程,再利用当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,由此求出点的坐标,并计算出点到直线的距离,作为圆的半径,由此可得出圆的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为,抛物线的焦点坐标为,直线的斜率,所以,直线的方程为,即.当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,如下图所示:设点,点在直线的下方,则,点到直线的距离为,当时,取最大值,此时,点的坐标为,因此,圆的标准方程为.故答案为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题,解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16.已知正三棱柱的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线与所成角的余弦值等于_.【答案】【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为,高为,球的半径为,先得出,然后,即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出【详解】设正三棱柱的底面边长为,高为,球的半径为,由题意知,即,底面外接圆半径,由球的截面圆性质知,当且仅当时取等号,将三棱柱补成一四棱柱,如图,知,即为异面直线与所成角或补角,所以.故答案为:【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在中,角所对的边分别为,若,.(1)求;(2)当时,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由条件得,即,从而得出,即,进而可算出(2)根据正弦定理求出即可【详解】,即.,则.(2),由正弦定理,可得,所以.【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角函数的变换,属于常见题型.18.如图,正三棱柱的所有棱长都是2,分别是的中点.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)证明平面即可(2)建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量即可.【详解】(1),是的中点,平面,平面平面,平面,.又在正方形中,分别是的中点,易证得:,即.又,平面,平面,所以平面平面.(2)取中点,以为轴建立空间直角坐标系,设平面的一个法向量为,则,令,则,设平面的一个法向量为,则,令,则,设二面角的平面角为,观察可知为锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】立体几何中,求线线角、线面角、面面角常用的方法是向量法.19.已知是椭圆左、右焦点,圆()与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)过正半轴
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