高中数学 1.1计数原理教学案（无答案） 苏教版选修2-3计算原理1. 分类计算原理：完成一件事，有n类方式，在第一类方式中有种不同的方法，在第二类方式中有种不同的方法，在第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.例1.从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.例2.如图，一条电路接通时，可以有多少条不同的线路？如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是互相独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计算原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法原理.3. 排列（1）定义：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.如从这四个字母中，取出2个字母的排列有等.（2）排列数定义: 从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示.如从这四个字母中，取出2个字母的排列数为：即 排列数为 （3）排列数公式：其中.一般地，为了求出从几个不同的元素中取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位，第2位，第m位，如图：第一步 第1位可以从n个元素中任取1个来填，有n种不同的方法；第二步 第2位只能在余下的n-1个元素中任取一个来填，有n-1种不同的方法；第三步 第3位只能在余下的n-2个元素中任取一个来填，有n-2种不同的方法； 第m步 第m位只能在余下的n-(m-1)个元素中任取一个来填，有n-(m-1)种不同的方法；根据分步计算原理有排列数公式其中. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.即称为n的阶乘，记为 n! 即 规定 例3 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？4. 组合（1）定义：从n个不同元素中取出m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.如从这四个字母中，取出2个字母的排列有等.（2）组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示.一般地，求从n个不同的元素中取出m个元素的排列数可分为两步：第一步 先求从这n个不同的元素中取出m个元素的组合数；第二步 求每一个组合中m个元素的全排列数.根据分步计算原理，有，因此有组合数公式，由于如 求从这四个字母中，取出2个字母的排列数：第一步第二步例4. 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题，问：(1)有几种不同的选题方法？(2)若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？组合数性质:(1), (2)排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出的元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此分析解决排列组合问题的基本思想是“先组合后排列”5. 常见的解题策略有以下几种：（1） 特殊元素优先安排的策略；例1. 1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种？（2） 合理分类和准确分步策略例2. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员和体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法有多少种？（3） 排列、组合混合题先选后排策略例3. 有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数.（1） 有女生但人数少于男生；（2） 某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.（4）相邻问题捆绑处理的策略例4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法有多少种？（5）不相邻问题插空法例5. 在数字1，2，3与符号+，- 五个元素的所有排列中，任意两个数字都不相邻的排列数有 个.（6）正难则反，等价转化的策略.例6. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为多少？（7）定序均分问题先排后除策略例7. 今有2个红球，3个黄球，4个白球同色球不加以区分，将这9个球排成一排有多少种不同的方法？（8）分排问题直排处理策略例8. 8人排成前后两排，每排4人，其中2个女生要排前排，另外2个因个子高要排在后排，问共有多少种不同的排法？二项式定理展开式是从每个括号中各取一个字母的一切可能乘积的和.它的每一项都具有的形式，其系数就是在的n个括号中选取r个b的方法种数.每个都不取b的情况有1种，即种，所以的系数是；恰有1个取b的情况有种，所以的系数是；恰有2个取b的情况有种，所以的系数是；恰有r个取b的情况有种，所以的系数是；都取b的情况有种，所以的系数是.因此 这个公式叫做二项式定理，右边多项式叫做的二项展开式，它一共有n+1项，其中叫做二项式的第r+1项（也称通项），用表示，即，第r+1项的二项式系数.- 5 - / 5