学 海 无 涯 1 高中数学二级结论,表,S,表,3V 1.任意的简单 n 面体内切球半径为(V 是简单 n 面体的体积， S是简单 n 面体的表面积),2.在任意ABC 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanAtan Btan C 推论：在ABC 内，若 tanA+tanB+tanC0，则ABC 为钝角三角形,3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的,2 倍 4,4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点,xx,5.导数题常用放缩ex x 1、 1 x 1 ln x x 1、ex ex(x 1),x2 y2 椭圆1(a0, b0) 的面积 S 为 Sab a2b2 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：过圆(x a)2 ( y b)2 r 2 上任意一点 P(x , y ) 的切线方程为(x a)(x a) ( y b)( y b) r 2 0000,x2y2,2,过椭圆 1(a 0, b 0) 上任意一点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为 0 0 1,b,a2b2a2,xxyy,过双曲线,x2y2,2, 1(a 0, b 0) 上任意一点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为 0 0 1,b,a2b2a2,xxyy,8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程,22,22,0,0,00,D E F 0,x xy y,圆 x y Dx Ey F 0 的切点弦方程为 x x y y ,x2y2,椭圆 1(a 0, b 0) 的切点弦方程为 0 0 1,a2b2a2b2,x xy y,双曲线,x2y2, 1(a 0, b 0) 的切点弦方程为 0 0 1,a2b2a2b2,x xy y,抛物线 y2 2 px( p 0) 的切点弦方程为 y y p(x x) 00,222,0,0,0,00,0, F 0,E,x xy y,Cy y D,x y y x,二次曲线的切点弦方程为 Ax x B,a2b2,x2y2,9.椭圆 1(a 0, b 0) 与直线 Ax By C 0(AB 0) 相切的条件是 A2a2 B2b2 C2,双曲线,a2b2,11,x2y2, 1(a 0, b 0) 与直线 Ax By C 0(AB 0) 相切的条件是 A2a2 B2b2 C2,10.若 A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线 AC、,学 海 无 涯 BD 的斜率存在且不等于零,并有 kAC kBD 0 ,( k AC , kBD 分别表示 AC 和 BD 的斜率),2,2,a2b2,xy,121 2,11.已知椭圆方程为 1(a b 0) ，两焦点分别为 F ， F ，设焦点三角形 PF F 中 ,PF1F2 ，则,cos 1 2e2 ( cos 1 2e2 ) max 椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x0 的点 P 的距离)公式r1,2 a ex0 已知k1 ， k2 ， k3 为过原点的直线l1 ， l2 ， l3 的斜率，其中l2 是l1 和l3 的角平分线，则 k1 ， k2 ， k3 满足下述 转化关系：,12,2k k k k 2k k 1(1 k k )2 (k k )2,22 31321 2,3,k 233 2 ， k 1 31 313， k,1 k 2 2k kk k1 k 2 2k k,2k k k k 2,211 2,14.任意满足axn byn r 的二次方程，过函数上一点(x , y ) 的切线方程为ax xn1 by yn1 r 1111,x,x,x,15.已知 f(x)的渐近线方程为 y=ax+b，则 lim f (x) a ， lim f (x) ax b,x2y24 16.椭圆 1(a b 0) 绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V ab 3,a2b2 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 在锐角三角形中sin A sin B sin C cos A cos B cos C,19.函数 f(x)具有对称轴 x a ， x b (a b) ，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a 2b |,x2 y2 20.y=kx+m 与椭圆 a2b2,2mb 2,1(a b 0) 相交于两点，则纵坐标之和为 a2 k 2 b2,28 ， 29 ),21.已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如 27 ， A B x2 B C y2 C A z 2 2S A B B C C A,c a,)的点的集合(定,22.圆锥曲线的第二定义： 椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e 点 F 不在定直线上，该常数为小于 1 的正数),双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线,12,21,23.到角公式：若把直线l1 依逆时针方向旋转到与l2 第一次重合时所转的角是 ，则 tan =,1 k k,k k,m n,22,1,24.A、B、C 三点共线 OD mOA nOC,OB ,OD (同时除以 m+n),学 海 无 涯,x2 y2 25.过双曲线 a2b2,1(a 0, b 0) 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 2,ab,反比例函数 y k (k 0) 为双曲线，其焦点为( 2k , 2k ) 和( 2k , 2k ) ，k0 x 面积射影定理：如图，设平面 外的ABC 在平面 内的射影为ABO，分别记ABC 的面积和ABO 的 面积为 S 和 S，记ABC 所在平面和平面 所成的二面角为 ，则 cos=S:S,）,28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例， 那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点： 定义：方程 f (x) x 的根称为函数 f (x) 的不动点 利用递推数列 f (x) 的不动点，可将某些递推关系an f (an1 ) 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的 数列，这种方法称为不动点法 定理 1 ： 若 f (x) ax b(a 0, a 1), p 是 f (x) 的不动点， an 满足递推关系 an f (an1 ), (n 1) ，则 an p a(an1 p) ，即an p 是公比为 a 的等比数列.,(c 0, ad bc 0) ，,cx d,ax b,定理 2：设 f (x) ,a 满足递推关系a f (a,n1,nn,), n 1 ，初值条件a1 f (a1 ),(1)若 f (x) 有两个相异的不动点 p, q ，则 an p k an1 p （这里k a pc ） an qan1 qa qc,(2)若 f (x) 只有唯一不动点 p ，则,an pan1 p,11,a d, k （这里k ,2c,ex f,ax2 bx c,定理 3：设函数 f (x) ,(a 0, e 0) 有两个不同的不动点 x1 , x2 ,且由un1 f (un ) 确定着数列,n,u ,那么当且仅当b 0,e 2a 时,),33,n2,n1 2, (,u xu x,u xu x,n12,n11,学 海 无 涯,30.,2,2, 4 coscoscos,22,4 sinsinsin,2,2,4 coscoscos,22,n 4k 3,nAnBnC 2,n 4k 2,nAnBnC 2,n 4k 1,2 nAnBnC 2,n 4k, 4 sin nA sin nB sin nC,(1) sin( nA) sin( nB) sin( nC) ,， k N*,(2)若 A B C ，则：,ABC,sin A sin B sin C,sin 2A sin 2B sin 2C, 8sinsinsin 222,ABC,222222, cos A cos B cos C 1 4sinsinsin 222 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 1 2sin A sin B sin C,4,sin,4,sin,2224,C,B,A, sin sin sin 1 4sin, A B C,ABC, sin A sin B sin C 4sinsinsin 222,222,2,22,ABCABC, cot cot cot cotcotcot,222222,CA,BC,AB, tantan tantan tantan 1, sin( B C A) sin( C A B) sin( A B C) 4sin Asin Bsin C (3)在任意ABC 中，有：,2228,ABC1, sinsinsin, cos A cos B cos C 3 3 2228,22,2,2,ABC3, sin sin sin,22,2,2, cos cos cos,C3 3,B,A,8,3 3, sin Asin B sin C ,1, cos Acos B cos C 8,2, sin A sin B sin C 3 3,3,2224, cos A cos B cos C 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 3,222,2 C,2 B,2 A, tan tan tan 1,ABC, tan tan tan3 222,29,2,2, tan tan tan,C3,B,A,ABC cot cot cot 3 3 222 cot A cot B cot C 3,(4)在任意锐角ABC 中，有：, tan A tan B tan C 3 3,9,44,3, cot Acot B cot C ,学 海 无 涯 tan2 A tan2 B tan2 C 9 cot2 Acot2 B cot2 C 1 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同 一条直线上 拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面， 其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高 拟柱体体积公式辛普森(Simpson)公式：设拟柱体的高为 H，如果用平行于底面的平面 去截该图形，所得到 的截面面积是平面 与一个底面之间距离 h 的不超过 3 次的函数，那么该拟柱体的体积 V 为,102120,62,V 1 (S 4S S )H ，式中，S 和 S 是两底面的面积，S 是中截面的面积(即平面 与底面之间距离h H,时得到的截面的面积) 事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时 所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3 次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那么 OAC,BAC,OAB 三角的余弦关系为：cosOAC=cosBACcos OAB(BAC 和OAB 只能是锐角),34.在 RtABC 中，C 为直角，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则ABC 的内切圆半径为,2,a b c,35.