1,第三章 自动控制系统的 时域分析,2,第三章 自动控制系统的时域分析,控制系统引入反馈的目的: 消除或减小误差 同时可能会给系统带来振荡,平衡状态：系统正常工作的状态 振荡：系统受到扰动后，围绕平衡状态来回运动,3,第三章 自动控制系统的时域分析,不稳定系统与稳定系统 系统的动态特性：振幅、过渡过程时间等 系统的稳态特性：稳态误差 三性分析： 稳定性 稳态特性 动态特性,4,第三章 自动控制系统的时域分析,分析控制系统性能最直接的方法： 求解微分方程，系统的时域分析。,特点：物理概念清晰，便于建立系统的性能指标，精确分析系统特性。但高阶微分方程求解困难。,时域分析法：系统分析的基础，工程上较少用,本章主要内容：常用信号；稳定性分析；稳态误差分析；动态响应。,5,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1 常用的典型测试信号 系统的时间响应不仅取决于系统特性（微分方程），还与输入信号有关。 常用的典型信号有：,阶跃信号,抛物线信号,斜坡信号,脉冲信号,正弦信号,系统的实际输入可以看成是这些典型信号的组合。,6,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1.1 阶跃信号,阶跃信号的拉普拉斯变换为,R=1 时称单位阶跃信号,R,7,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1.2 斜坡信号(速度信号),斜坡信号的拉普拉斯变换为,R=1 时称单位斜坡信号,8,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1.3 抛物线信号(加速度信号),加速度信号的拉普拉斯变换为,R=1 时称单位加速度信号,9,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1.4 脉冲信号,单位脉冲信号的拉普拉斯变换为,当h0时脉动信号就成为脉冲信号. A=1 时称单位脉冲信号,系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为系统传递函数,10,第三章 自动控制系统的时域分析,3.1.5 正弦信号,正弦信号的拉普拉斯变换为,11,第三章 自动控制系统的时域分析,3.2 控制系统的稳定性分析 稳定是系统正常运行的前提。 3.2.1 稳定性的基本概念,如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，则称系统是稳定的。 反之，称系统是不稳定的。 若系统在平衡点附近等幅振荡，称系统是临界稳定的。,12,第三章 自动控制系统的时域分析,例3-1 单摆 由于存在各种阻力,系统是稳定的，如果不存在阻力,系统是临界稳定的。,例3-2 倒立摆 系统是不稳定的,13,第三章 自动控制系统的时域分析,3.2.1 稳定性的基本概念 线性定常系统的响应c(t)由输入r(t)和初始条件决定。 零输入响应c0r(t)与零状态响应c0z(t) 系统是否稳定取决于系统的零输入响应 。故需要研究齐次微分方程的解。,c(t)=c0r(t)+ c0z(t),14,3.2.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界输入无关。 系统齐次微分方程,3.2 控制系统的稳定性分析,齐次微分方程的解由特征方程决定。特征方程,15,设系统特征方程的根互不相等(无重根)。系统输出：,上式表明，线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在S平面的左半部。 特征方程的根由系统的固有特性决定，与外部输入无关。 利用特征方程的根可以判别系统的稳定性，但高阶求解困难。,3.2 控制系统的稳定性分析,16,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正 数。若任一项系数为负或为零（缺项），则为不稳定系统。,特征方程系数 特征根的分布 判别系统稳定 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设 特征方程为：,1.线性定常系统稳定的必要条件,17,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,不稳定系统 不稳定系统 稳定系统,例3-3 以下3个系统,18,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,劳斯判据步骤： (1) 建立劳斯表 将特征方程式的系数按下列规则排成前两行，即,2.劳斯判据 劳斯判据根据特征方程系数分析系统稳定性 设 特征方程为：,19,建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,20,(2) 计算劳斯表的其他系数,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,21,例如，现有一个五阶系统，其特征方程： 则劳斯表为,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,22,(3) 劳斯稳定判据 系统稳定的充分必要条件是： 劳斯表中第一列系数非零且不改变符号。 例34 系统的特征方程：,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,解：列出劳斯表： 因为劳斯表中第一列元素非零且无符号变化，说明该系统特征方程没有正实部根，所以：系统稳定。,23,(4) 如果劳斯表中第一列元素皆非零，则元素符号变化的次数等于特征方程具有正实部根（即分布在s平面右半部）的数目。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,24,例3-5 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据判别其稳定性。 解:列出劳斯表 劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明该系统 有两个特征根在右半s平面，所以系统不稳定。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,25,两种特殊情况 (5) 劳斯表中某行第一个元素为零，此行其余项不全为零。 此时，用任意小的正数代替这个零，再按规则继续计算表中其余各元素。如果上面元素符号与下面元素符号相反，表明这里有一个符号变化。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,26,例36 试用劳斯判据判别下列系统的稳定性。 解： 列出劳斯表 第一列元素符号的变化的 次数为两次，说明特征方 程有两个正实部的根， 所以系统不稳定。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,27,（6）劳斯表中某一行元素全为零 如出现某一行元素全为零，表明特征方程在s平面上有关于原点对称的根。 例（s+)(s-)或（s+j) （s-j) 此时可用全零行上面一行的元素构造一个辅助方程，并对其s求导后得到的方程系数代替全零行元素，再按常规计算其余各项元素。 利用辅助方程，可求得那些所有数值相同符号相异的根。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,28,例37 已知系统特征方程 ，试判别系统稳定性。 解：列出劳斯表。 全零行上面一行的元素构造一个 辅助方程p(s) 求导得2s0 (s1系数2）。 求解p(s)=0得到数值相等符号相异的 根，系统处于临界稳定状态。,3.2.3. 劳斯 (Routh) 稳定性判据,p,29,例 判别系统稳定性,解:,首列符号变化一次，所以有一正实根，系统不稳定。解辅助方程：,30,3.劳斯判据的应用 例38 确定使系统稳定的K、T取值范围。 解: 系统的特征方程为 列出劳斯表 要使系统稳定，第一列元素 的符号均应大于零。得,31, 0 K ,则稳定条件为：,32,例：已知系统特征方程，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线s=-1 与虚轴之间。 解：列出劳斯表。 劳斯表第一列无符号变化， 所以系统稳定。 令s=s1-1代入原特征方程， 得到如下特征方程：,33,列出劳斯表 劳斯表中第一列元素 符号变化一次，所以 有一个特征方程根在 s=-1 垂线右边。,