用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在实际与数学之间架设一座桥梁.,数学各门科学的基础；社会进步的工具.,解决过程实际问题转化为数学问题；数学问题的求解；数学解答回归实际问题.,这个全过程称为数学建模为实际问题建立数学模型.,第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学 1.4 建模示例之二 路障间距的设计 1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗 1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类 1.8 怎样学习数学建模学习课程 和参加竞赛,第 一章 建立数学模型,玩具、照片、飞机、火箭模型, 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图、分子结构图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速为20km/h.,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）,用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速）,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）,求解得到数学解答（x=20, y=5）,回答原问题（船速为20km/h）,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,欧几里德,几何原本,光反射定律,阿基米德,浮力定律,杠杆原理,伽利略,牛顿,落体定律,惯性原理,万有引力定律,微积分,数学建模历史悠久,直到20世纪后半叶数学建模才逐渐得到普遍重视和广泛应用，并且进入大学的课堂.,1.2 数学建模的重要意义,计算机技术的出现和迅速发展,为数学建模的应用 提供了强有力的工具.,数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等 领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.,科技进步与社会发展的推动,高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段 数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术.,数学建模引入教学顺应时代发展的潮流,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,为教育改革注入强大活力,数学教育本质上是一种素质教育.,数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、 证明)和用数学(分析、解决实际问题).,传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者.,让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.,数学建模引入教学符合教育改革的需要,传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者.,通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子.,问题,分析,直观认识“大饺子包的馅多”!,但是：“用的面皮也多”!,需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.,今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.,应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？,1.3 建模示例之一 包饺子中的数学,体积V、面积S 一个大饺子,V和 nv 哪个大?,V比 nv大多少?,定性分析,定量结果,分析,建立馅、皮与数学概念的联系：,馅体积，皮表面积,体积v、面积s n个小饺子,1.皮的厚度一样,2.饺子的形状一样,R 大皮半径,r 小皮半径,(1),(2),(3),假设,建模,消去S, s, k,体积与面积的联系半径（特征半径 ）,解释,V 比 nv 大 (n1)大饺子包得馅多.,定性分析,定量结果,若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？,应用,n1=100, n2=50,50个饺子能包1.4kg馅.,n1v1=1(kg), n2v2=?,n2v2=,讨论,饺子数量减少一倍，真的就能多包40%的馅吗？,饺子越大，面皮应该越厚.,若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包1.4kg馅.,可以对“皮的厚度随着半径变大而增加”的数量关系作出合理、简化的假设，重新建模.,用数学语言(体积和表面积)表示现实对象(馅和皮).,作出简化、合理的假设(厚度一样，形状一样).,利用问题蕴含的内在规律(体积和表面积与半径间 的几何关系).,包饺子建模过程的基本、关键步骤,日常生活中有哪些可用这个模型解释的现象？,校园、居民小区道路需要限制车速设置路障,限制车速40km/h, 相距多远设置一个路障？,汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.,车速达到40km/h时让司机看到下一路障而减速, 至路障处车速又接近零.,如此循环以达到限速的目的.,背景,问题,分析,1.4 建模示例之二 路障间距的设计,加速度、减速度：,方法一 查阅资料,方法二 进行测试,加速行驶的测试数据,减速行驶的测试数据,相邻路障之间汽车作等加速运动和等减速运动.,假设,路障间距的设计,加速行驶：距离s1，时间t1, 加速度a1,减速行驶：距离s2，时间t2, 减速度a2,限速vmax,相邻路障间行驶总距离,给定vmax，由测试数据估计a1，a2，,建模,s,= 路障间距,路障间距的设计,t = cv+d,最小二乘法,设计路障间距67m,大致线性关系,计算,测试数据作图,a1=1/c1，a2=-1/c2,d1 , d2 0,1m/s= 3.6km/h,vmax=11.1(m/s),c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556 (m), 66.5,估算,(s2/m),(s2/m),作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶).,利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、 加速度之间的物理关系).,路障设计中还有可用数学建模研究的问题吗？,路障间距建模过程的基本、关键步骤,根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度).,问题,不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地 放不稳！,讨论椅子能放稳的条件.,挪动几下，使四只脚着地椅子放稳！,1.5 建模示例之三 椅子能在不平的地面上放稳吗,模型假设,四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形.,地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面.,地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.,椅子能在不平的地面上放稳吗,模型建立,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性.,用表示椅子位置.,四只脚着地,距离是的函数.,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,已知：f() , g()连续, 对任意, f() g()=0 , 且 g(0)= f(/2)= 0, f(0) 0 , g(/2)0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,g(0)=0，f(0) 0， f(/2)=0, g(/2)0.,模型建立,椅子旋转900, 对角线AC和BD互换,证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,一种简单的证明方法,2）由 f, g 连续可得 h连续.,1）令 h()= f()g(), 则 h(0)0，h(/2)0.,4）因为 f(0) g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.,模型求解,3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0 0 /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .,结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转，一定能找到四只脚着地的稳定点.,机理分析,测试分析,二者结合,机理分析建立模型结构, 测试分析确定模型参数.,白箱,黑箱,灰箱,机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.,数学建模的基本方法,1.6 数学建模的基本方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,实践,数学世界,两次“翻译”,现实世界,将实际问题“翻译”成数学问题.,将数学解答“翻译”回实际对象.,1.7 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,技术大致有章可循.,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.,艺术无法归纳成普遍适用的准则.,着重培养数学建模的意识和能力,1.8 怎样学习数学建模 学习课程和参加竞赛,数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.,想象力,洞察力,判断力,创新意识,数学建模的能力,比较广博的数学知识,深入实际调查研究的决心和能力,如何学习数学建模,学别人的模型（学习、分析、改进、推广）,做自己的模型（实际题目，参加竞赛）,对于案例椅子能在不平的地面上放稳吗，在学懂的基础上可以作哪些研究？,学别人的模型,1. 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的?,四脚连线呈长方形可以吗?,椅脚连线呈正方形,地面高度连续,椅子至少三只脚着地,是,是,非,2. 建模的关键是什么？,变量表示椅子的位置.,函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.,椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？,3. 建模过程中有无不严谨之处？,亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目 不妨从包饺子这样的简单问题开始.,做自己的模型,提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型.,数学建模竞赛为提高用建模方法分析、解决实际问题的能力，搭建了广阔的平台.,1992年由中国工业与应用数学学会 （CSIAM） 组织举办首次竞赛.,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办（每年9月).,全国大学生数学建模竞赛,网址：,2017年全国1400多所院校、36000多队参赛.,我国高校规模最大的课外科技活动.,内容,赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题.,答卷：用数学建模解决问题全过程的论文.,形式,3名大学生组队、3天内完成的通讯比赛.,可使用任何死材料，不可与队外他人讨论.,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性.,全国大学生数学建模竞赛,参加数学建模竞赛的三个阶段,赛前准备 学习有关知识、方法和软件；题目研讨（及模拟）；组队磨合.,三天参赛 吃透题意，发挥正常，注意写作，同舟共济.,赛后继续 对有兴趣赛题的深入研讨；实际问题的数学建模.,竞赛培养创新精神和综合素质,综合运用数学知识和计算机技术分析、解决实际问题的能力.,分工合作、