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学 海 无 涯 高中数学必修 3 知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤, 这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: 有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. 确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当 是模棱两可. 顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个 确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步 都准确无误,才能完成问题. 不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文 字说明。,(二)构成程序框的图形符号及其作用,1,学 海 无 涯,学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外, 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果; 另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下 的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一 种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而,下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B,框是依次执行的,只有在执行完A 框指定的操作后,才能接着执,行 B 框所指定的操作。,2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一, 不可能同时执行A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断 框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理 步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含 条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A,A,B,2,学 海 无 涯 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执 行 A 框,直到某一次条件P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条 件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止, 此时不再执行A 框,离开循环结构。,当 型 循 环 结 构,结构,注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循 环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累 加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是 同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1输入、输出语句和赋值语句 1、输入语句 (1)输入语句的一般格式,(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的 信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体 的常数,不能是函数、变量或表达式;(5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入 多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。 2、输出语句,(1)输出语句的一般格式,(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的 信息,表达式是指程序要输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及 字符。,A,成立,p P 型 不循成环立,直 到 不成立,P,成立,A,图形计算器 格式,INPUT“提示内容”;变量,INPUT “提示内容”,变量,PRINT“提示内容”;表达式,图形计算器 格式,Disp “提示内容”,变量,3,学 海 无 涯,3、赋值语句 赋值语句的一般格式 赋值语句的作用是 将表达式所代表的值赋给 变,量;(3)赋值语句中的“”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右 两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只 能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变 量可以多次赋值。 注意:赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。赋值号左 右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数 式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 122 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种:(1)IFTHENELSE 语句;(2)IFTHEN 语句。2、IF THENELSE 语句 IFTHENELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。,图 2,语句中,“条件”表示判断的条件,“语句 1”表,时,执,容;END,示满足条件 示条件语句,图 1 析:在 IFTHENELSE 行的操作内容;“语句 2” 束。计算机在执行时,首先,对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面,的语句 1;若条件不符合,则执行ELSE 后面的语句 2。 3、IFTHEN 语句 IFTHEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。,注意:“条件”表示 判断的条件;“ 语,句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结 束程序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如 果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其 它语句。 123 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语 言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语 句。,变量表达式,图形计算器 格式,表达式变量,IF条件THEN 语句 1,分 ELSE,语句 2,结 END IF,否,是,满足条件?,表示不满足条件时执行的操作内语句 1IF 表 语句 2的,IF条件 THEN 语句 END IF,(图 3),满足条件?,语句,是,否,(图 4),4,学 海 无 涯,与 WEND,算机遇到 WHILE 语句 之间的循环体;然后再,检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个,过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是,(2),”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句,时,,直到型循环又称为“后测试型 先执行一次循环体,然后进行,LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循,环 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和一个余数 R0 ;(2):若 R0 0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; (3):若 R1 0,则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个 商 S2 和一个余数 R2 ; 依次计算直至 Rn 0,此时所得到的 Rn1 即为所求的最 大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术 求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损, 求其等也,以等数约之。 翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执 行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减,1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 WHILE条件,WEND,满足条件?,循环体,否,(2)当计 循环体时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行是WHILE,满足条件? 后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到,循环体,是,DO 循环体 LOOPUNTIL,5,条件 条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循否环体,然,6,学 海 无 涯 小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析:(略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: 都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显。 从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术 则以减数与差相等而得到 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3.vn=vn-1x+a0、 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第个数放入数组的第个元素中,以 后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置 以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中(由于算法简单,可 以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第2 个数和第3 个数.
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