分类讨论思想例题分析线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4_。ABC1C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上 例2下列说法正确的是（ ）A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的大小。（20或50） 练习 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。（1）射线OC在内（2）射线OC在外这两种情况下，都有小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。三角形中分类讨论思想的应用一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且，则BCA的度数为_。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当ABC的高在形内时，由， 得ABDCAD，进而可以证明ABC为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形。由，得ABDCAD所以BCAD25BCACADADC25901152、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_。 解析：由，可得且 分别解这两个方程，可得满足条件的解，或 由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。 当两直角边长分别为2，2时，斜边长为； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。 综上，第三边的长为或或。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。例8、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)ACBP析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。四、本节小结分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。