初二数学经典题型1已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150求证：PBC是正三角形 ANFECDMB2.已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF3、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB5.P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC=3a正方形的边长6.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 答案1、证明如下。APCDB首先，PA=PD，PAD=PDA=（180-150）2=15，PAB=90-15=75。在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则PDQ=60+15=75，同样PAQ=75，又AQ=DQ,，PA=PD，所以PAQPDQ， 那么PQA=PQD=602=30，在PQA中，APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB，于是PQ=AQ=AB，显然PAQPAB，得PBA=PQA=30，PB=PQ=AB=BC，PBC=90-30=60，所以ABC是正三角形。2、证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底PCGFBQADE所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ（MENF）/2又因为，角0CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B角Rt角BNFCB=BF所以OCB全等于NBFMEA全等于OAC（同理）所以EMAO，0BNF所以PQ=AB/2.4、过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE 因为DP/AE，AD/PE PADCB所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，PDA=AEP 已知，PDA=PBA 所以，PBA=AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，PAB=PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE/AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD/BC，且AD=BC 所以，PE/BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB5 解：将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为BAPBCQ所以APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQCACBPD因为四边形DCBA是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQCBP90即PBQ90，所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ2*BP，BQP45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以PQ22a，CQa，所以CP29a2，PQ2CQ28a2a29a2所以CP2PQ2CQ2，所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作BMPQ则BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22a/22a所以根据勾股定理得：AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以AB(522)a6. 解：（1）证法一： 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC，ABCDPE12H PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180， DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90， PEPD. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD.综合（i）（ii）（iii）, PEPD. ABCPDEF（2） 过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值. （1）证法二： 过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形，ABCPDEFG123 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值.26（本小题满分8分）如图1，在四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGE26（1）等腰三角形1分（2）判断出直角三角形1分证明：如图连结，取的中点，连结，1分是的中点，ABCDFGHE123，同理，1分，是等边三角形2分，即是直角三角形2分