学 海 无 涯,排列组合,排列定义：从 n 个不同的元素中，取 r 个不重复的元素，按次序排列，称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 组合定义：从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元 素的顺序，称为从 n 个中取 r 个的无重组合。组合的个数用 C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要 较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别 是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方 案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们 搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m1 种不同的方法，在 第 2 类办法中有m2 种不同的方法，在第n 类办法中有mn 种不同 的方法，那么完成这件事共有：,N m1 m2 ,mn,种不同的方法,1,学 海 无 涯 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做 第 2 步有m2 种不同的方法，做第n 步有mn 种不同的方法，那么 完成这件事共有：,N m1 m2 ,mn,种不同的方法 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件 事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段， 不能完成整个事件 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 认真审题弄清要做什么事 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分 类同时进行,确定分多少步及多少类。 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素 总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常 用的解题策略 具体情况分析 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置.,3,先排末位共有C1,4,然后排首位共有C1,4,最后排其它位置共有 A3,4 3 4,由分步计数原理得C1C1 A3 288,练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的 排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也 看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内,4,4,C1A3C1,3,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件,2,学 海 无 涯,5 2 2,部进行自排。由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 480 种不同的排法,甲 乙丙 丁,练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的,情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种？,5,解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A5 种，第二步将 4,6,舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A4,5 6,不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A5 A4 种,练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增,加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新 节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元 素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几,73,个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A7 / A3,7,(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A4 种方,7,法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A4 种,方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次 插 入 共 有 方 法,习题:10 人身高各不相等,排成前后,练排，每排 5 人,要求从左至右身,高逐渐增加，共有多少排法？,C5,10 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把 第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理 共有76 种不同的排法,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.,元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插,3,允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为mn 种,学 海 无 涯 练习题： 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加 了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法 的种数为 42 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法78 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所,以固定一人 A4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！,FH,4 种排法即7 ！ C D,A,C,B,E,G,A BD E F G H A,练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120,七.多排问题直排策略 例7.8 人排成前后两排,每排4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多 少排法 解:8 人排前后两排,相当于8 人坐8 把椅子,可以把椅子排成一排. 个特殊元素有 A2 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A1 种, 44 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A5 种,则共有 A 2 A1 A5 种 54 4 5,前 排,后 排,练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人,就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相 邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共 有多少不同的装法.,5,解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有C 2 种方法.再把 4,4,个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A4 种方法，,一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 1,m,n,形排列共有A,n,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研,4,学 海 无 涯,54,根据分步计数原理装球的方法共有C2 A4,练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成,四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？,2,解：把,当作一个小集团与排队共有 A2 种排法，再,排小集团内部共有 A2 A2 种排法，由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 2 2222 种排法. 1524,练习题：,.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩,2 5 4,画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 A 2 A5 A 4,2. 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有,2 5 5,A 2 A5 A5 种,十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分 配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形 成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额 分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种,9,分法共有C 6 种分法。,一 班,二 班,三 班,四 班,五 班,六 班,七 班,练习题：,4,9,110 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ C,103,2 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 C3,十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，,5,插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为Cm1,n1,学 海 无 涯 不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰 法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个 偶数的取法有C3 ,只含有1 个偶数的取法有C1C2 ,和为偶数的取法 55 5,5 55,共有C1C 2 C 3 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法,5 55,共有C1C 2 C 3 9,6 4 2,解: 分三步取书得C 2C 2C 2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不,妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取CD,第三步取,EF该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则,6 4 2,C 2C 2C 2,中 还 有,(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),3,共有 A3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共,6 4 23,有C 2C 2C 2 / A3 种分法。,练习题：,1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分,法？（ C5 C 4C 4 / A 2 ）,13 8 42 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分 在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540） 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到 该年级的两个班级且每班安,2 222,4 262,C C A / A 90,排 2 名，则不同的安排方案种数为 （） 十三. 合理分类与分步策略,例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞, 现要演出一个 2 人唱歌 2